Что такое производная? В математике производная это


Производная функции | Математика | FANDOM powered by Wikia

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

    1. Пусть в некоторой окрестности точки $ x_0 \in \mathbb{R} $ определена функция $ f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. $ Производной функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется предел, если он существует,
    $ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. $
    • Производная функции в точке $ x_0 $ обозначается символами
    $ f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0). $

    Дифференцируемость Править

    Производная $ f'(x_0) $ функции $ f $ в точке $ x_0 $, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $ f $ является дифференцируемой в точке $ x_0 $ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

    $ \bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr). $

    Для дифференцируемой в $ x_0 $ функции $ f $ в окрестности $ U(x_0) $ справедливо представление

    $ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) $
    • Назовём $ \Delta x = x - x_0 $ приращением аргумента функции, а $ \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) $ приращением значения функции в точке $ x_0. $ Тогда $ f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $
    • Пусть функция $ f:(a,b) \to \mathbb{R} $ имеет конечную производную в каждой точке $ x_0 \in (a,b). $ Тогда определена произво́дная фу́нкция $ f':(a,b) \to \mathbb{R}. $
    • Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
    • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $ f $ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $ f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr). $

    Геометрический и физический смысл производной Править

    Тангенс угла наклона касательной прямой Править

    Если функция $ f:U(x_0) \to \mathbb{R} $ имеет конечную производную в точке$ x_0, $ то в окрестности $ U(x_0) $ её можно приблизить линейной функцией

    $ f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). $

    Функция $ f_l $ называется касательной к $ f $ в точке $ x_0. $ Число $ f'(x_0) $ является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

    Скорость изменения функции Править

    Пусть $ s=s(t) $ — закон прямолинейного движения. Тогда $ v(t_0)=s'(t_0) $ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $ t_0. $ Вторая производная $ a(t_0) = s''(t_0) $ выражает мгновенное ускорение в момент времени $ t_0. $

    Вообще производная функции $ y=f(x) $ в точке $ x_0 $ выражает скорость изменения функции в точке $ x_0 $, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $ y=f(x). $

    Производные высших порядков Править

    Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

    $ f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0). $

    Если функция $ f $ дифференцируема в $ x_0 $, то производная первого порядка определяется соотношением

    $ f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0). $

    Пусть теперь производная $ n $-го порядка $ f^{(n)} $ определена в некоторой окрестности точки $ x_0 $ и дифференцируема. Тогда

    $ f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0). $

    Производные высших порядков обозначаются символами:

    $ f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}. $

    Когда $ n $ мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

    $ f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\; f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x), $ etc.
    • Пусть $ f(x) = x^2. $ Тогда
    $ f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0. $
    • Пусть $ f(x) = |x|. $ Тогда если $ x_0 \neq 0, $ то
    $ f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0, $

    где $ \operatorname{sgn} $ обозначает функцию знака. Если $ x_0 = 0, $ то $ f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, $ а следовательно $ f'(x_0) $ не существует.

    Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.

    ru.math.wikia.com

    Что такое производная?

    Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным результатом применения какой-то определенной операции дифференцирования по отношению к исходной функции.

    Определение производной

    Для того, чтобы понять, что такое производная, необходимо знать, что название функции происходит непосредственно от слова «произведенная», то есть образовавшаяся от другой какой-либо величины. При этом сам процесс определения производной какой-то определенной функции имеет название - «дифференцирование». 

    Наиболее распространенный метод представления и определения, при использовании теории пределов, несмотря на то, что она появилась гораздо позже дифференциальных исчислений. По определению данной теории, производной называется предел в отношении приращения функций к приращению аргумента, в случае если таковой предел имеется, и при условии, что данный аргумент стремится к нулевому значению. 

    Принято считать, что, впервые, термин и понятие «производная» употребил в своих трудах известный русский математик по имени В.И.Висковатов.

    Рассмотренный ниже небольшой пример поможет наглядно понять, что такое производная.

    1. Для поиска производной функции f в точке х, нам нужно определить значения данной функции непосредственно в точке х, а так же в точке х+Δх. Причем Δx – это приращения аргумента х.
    2. Найти приращение для функции у приравненное к f(х+Δх) – f(х).
    3. Записать производную при помощи предела отношения f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, исчислить при Δх → 0.

    Обычно производная обозначается знаком апострофа - «’» непосредственно над дифференцируемой функцией. Обозначение в виде одного апострофа обозначает первую производную, в виде двух – вторую. Производную наивысшего порядка принято задавать соответствующей цифрой, к примеру f^(n) – что означает производную n-го порядка, где буква «n» – целое число , которое ? 0. Производная нулевого порядка - это и есть сама дифференцируемая функция.

    С целью облегчения дифференцирования усложненных функций, были разработаны и приняты определенные правила дифференци

    elhow.ru

    Производная функции - это... Что такое Производная функции?

    У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной

    Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

    Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

    История

    В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

    Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]

    Определение

    Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде

    если существует.

    Определение производной функции через предел

    Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

    Общепринятые обозначения производной функции в точке

    Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

    Дифференцируемость

    Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

    Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

    при

    Замечания

    Геометрический и физический смысл производной

    Тангенс угла наклона касательной прямой

    Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

    Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

    Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

    Скорость изменения функции

    Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

    Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

    Производные высших порядков

    Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

    Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением

    Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

    Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от   может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

      или     или  

    Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

    Способы записи производных

    В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

    • Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
    и т. д.

    Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

    • Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
    • Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
     — производная первого порядка по при , или  — вторая производная по в точке и т. д. , или иногда .
    • В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

    Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

    Примеры

    • Пусть . Тогда
    • Пусть . Тогда если то

    где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

    Правила дифференцирования

    Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

    , то

    • Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
    где  — биномиальные коэффициенты.

    Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

    Доказательство  

    Таблица производных некоторых функций

    Производная вектор-функции по параметру

    Определим производную вектор-функции по параметру:

    .

    Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

    Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

    См. также

    Примечания

    Литература

    • В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
    • В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
    • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
    • В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

    dic.academic.ru

    ПРОИЗВОДНАЯ - это... Что такое ПРОИЗВОДНАЯ?

    - одно из основных понятий математич. анализа. Пусть действительная функция f(x) действительного переменного хопределена в нек-рой окрестности точки х 0 и существует конечный или бесконечный предел

    (*)

    Этот предел и наз. производной от функции f(х).в точке х а. Если положить y=f(x),

    то предел (*) запишется так:

    Используют также обозначения

    и нек-рые другие.

    Операцию вычисления П. наз. дифференцированием. Если производная f'( х 0).конечна, то функцию f(х).наз. дифференцируемой в точке х 0. Функцию, дифференцируемую в каждой точке нек-рого множества, наз. дифференцируемой на этом множестве. Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Однако существуют непрерывные функции, не имеющие П. во всех точках заданного промежутка (см. Недифференцируемая функция).

    Пусть функция дифференцируема в нек-ром промежутке. Ее производная f' (х).может оказаться при этом разрывной функцией. Однако по классификации Бэра (см. Вара классы).она всегда является функцией 1-го класса и обладает свойством Дарбу: приняв два значения, принимает и все промежуточные.

    Обобщением понятия П. является понятие П. по множеству. Пусть действительная функция f(x).определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, x0 - предельная точка этого множества, , и существует конечный или бесконечный предел

    к-рый и наз. производной от функции f(х).по множеству Ев точке х 0 и обозначают символом f'E( х 0). П. функции по множеству есть обобщение понятия П. Разновидностями этого обобщения являются понятия односторонней производной, производного числа, аппроксимативной производной.

    Данное определение П. (и его обобщение), а также простейшие ее свойства почти без изменений распространяются на комплексные функции и вектор-функции действительного или комплексного неременного. Кроме того, существуют понятия П. скалярной функции точки евклидова пространства Rn (см. Градиент), П. функции множества по мере (в частности, по площади, по объему и т. п.), понятие П. распространяют на вектор-функции точки абстрактного пространства (см. Дифференцирование отображения).

    О геометрич. и механич. истолковании П., о простейших правилах дифференцирования, о П. высших порядков, о частных П., а также лит. см. в ст. Дифференциальное исчисление. Г. П. Толстов.

    Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

    dic.academic.ru

    Что такое производная

    Производная - главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

    Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

    То есть,

             (1)

    Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

    Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции

    .

    Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

    Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

    .

    Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

    Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:

    К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле - задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

    Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени . Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t) называется предел средней скорости при :

    (при условии, что этот предел существует и конечен).

    Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s(t) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

    .

    Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Итак, производной функции y=f(x) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

    Пример 2. Найти производную функции

    Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

    Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

    Шаг 2. Найдём приращение функции:

    Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

    Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:

    Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .

    Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

    ,

    причём предел равен углу наклона касательной к оси .

    Теперь дадим точное определение касательной.

    Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:

    где - угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.

    Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .

    Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.

    Шаг 1.

    Шаг 2.

    Шаг 3.

    Шаг 4.

    Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:

    Найдём значение производной при :

    Весь блок "Производная"

    function-x.ru

    Производная функции — WiKi

    У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной

    Произво́дная функция — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

    Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

    История

    Определение

    Таблица производных

    (c)=(const){\displaystyle \left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)} (ex)(n)=ex{\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}} 

    Дифференцируемость

    Замечания

    • Назовём Δx=x−x0{\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}  приращением аргумента функции, а Δy=f(x)−f(x0){\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})}  или Δy=f(x0+Δx)−f(x0){\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}  приращением значения функции в точке x0.{\displaystyle x_{0}.}  Тогда f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx.{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.} 
    • Пусть функция f:(a,b)→R{\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }  имеет конечную производную в каждой точке x0∈(a,b).{\displaystyle x_{0}\in (a,b).}  Тогда определена произво́дная фу́нкция f′:(a,b)→R.{\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .} 
    • Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
    • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f{\displaystyle f}  называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: f∈C(1)((a,b)).{\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.} 

    Геометрический и физический смысл производной

    Производные высших порядков

    Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

    f(0)(x0)≡f(x0).{\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).} 

    Если функция f{\displaystyle f}  дифференцируема в x0{\displaystyle x_{0}} , то производная первого порядка определяется соотношением

    f(1)(x0)≡f′(x0).{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).} 

    Пусть теперь производная n{\displaystyle n} -го порядка f(n){\displaystyle f^{(n)}}  определена в некоторой окрестности точки x0{\displaystyle x_{0}}  и дифференцируема. Тогда

    f(n+1)(x0)=(f(n))′(x0).{\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).} 

    Если функция u=f(x,y,z){\displaystyle u=f(x,y,z)}  имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от x,y,z,{\displaystyle x,y,z,}   может иметь в некоторой точке (x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}  частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции u=f(x,y,z){\displaystyle u=f(x,y,z)}  эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

    ux2″=fx2″(x0,y0,z0){\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})}   или  ∂2u∂x2=∂2f(x0,y0,z0)∂x2{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}  uxy″=fxy″(x0,y0,z0){\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}   или  ∂2u∂x∂y=∂2f(x0,y0,z0)∂x∂y{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}} 

    Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

    uxy″=fxy″(x0,y0,z0){\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} 

    Способы записи производных

    В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

    • Лагранжа f(n)(x0){\displaystyle f^{(n)}(x_{0})} , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
    f(1)(x0)=f′(x0)=fI(x0),{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),}  f(2)(x0)=f″(x0)=fII(x0),{\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),}  f(3)(x0)=f‴(x0)=fIII(x0),{\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),}  f(4)(x0)=fIV(x0),{\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),}  и т. д.

    Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

    • Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x{\displaystyle x}  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
    dnfdxn(x0){\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})} 
    • Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
    x˙(t0){\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})}  — производная первого порядка x{\displaystyle x}  по t{\displaystyle t}  при t=t0{\displaystyle t=t_{0}} , или f¨(x0){\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})}  — вторая производная f{\displaystyle f}  по x{\displaystyle x}  в точке x0{\displaystyle x_{0}}  и т. д.Dnf(x0){\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})} , или иногда ∂nf(x0){\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})} .
    • В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение fx{\displaystyle f_{x}} , fxx{\displaystyle f_{xx}} ; для значения производной в точке — fx|x=x0{\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}} . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

    Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

    f(n)(x0)=dnfdxn(x0)=f⋅⋅...⋅⏞n PA3(x0)=Dnf(x0)=fxx…x⏟n PA3|x=x0.{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot ...\cdot } ^{n\ \mathrm {PA} 3}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ \mathrm {PA} 3}}\vert _{x=x_{0}}.} 

    Примеры

    • Пусть f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} . Тогда
    f′(x0)=limx→x0x2−x02x−x0=limx→x0(x−x0)(x+x0)x−x0=limx→x0(x+x0)=2x0.{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.} 
    • Пусть f(x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|} . Тогда если x0≠0,{\displaystyle x_{0}\neq 0,}  то
    f′(x0)=sgn⁡x0,{\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},} 

    где sgn{\displaystyle \operatorname {sgn} }  обозначает функцию знака. А если x0=0,{\displaystyle x_{0}=0,}  то f+′(x0)=1,f−′(x0)=−1,{\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,}  а следовательно f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})}  не существует.

    Правила дифференцирования

    Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C{\displaystyle C}  — постоянное число и f=f(x),g=g(x){\displaystyle f=f(x),g=g(x)}  — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

    • C′=0{\displaystyle C'=0} 
    • x′=1{\displaystyle x'=1} 
    • (f+g)′=f′+g′{\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'} [3]
    • Доказательство

    y(x)=f(x)+g(x){\displaystyle y(x)=f(x)+g(x)} 

    y′(x)=limΔx→0y(x+Δx)−y(x)Δx={\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=} 

    =limΔx→0(f(x+Δx)+g(x+Δx))−(f(x)+g(x))Δx={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=} 

    =limΔx→0(f(x+Δx)−f(x)Δx+g(x+Δx)−g(x)Δx)={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})}=} 

    =limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx+limΔx→0g(x+Δx)−g(x)Δx={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=} 

    =f′(x)+g′(x){\displaystyle =f'(x)+g'(x)} ■

    • (fg)′=f′g+fg′{\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'} [4]

    Доказательство

    y(x)=f(x)g(x){\displaystyle y(x)=f(x)g(x)} 

    Δf(x)=f(x+Δx)−f(x){\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)} 

    Δg(x)=g(x+Δx)−g(x){\displaystyle \Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)} 

    y′(x)=limΔx→0y(x+Δx)−y(x)Δx={\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=} 

    =limΔx→0f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x)Δx={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=} 

    =limΔx→0(f(x)+Δf(x))(g(x)+Δg(x))−f(x)g(x)Δx={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)}{\Delta x}}=} 

    =limΔx→0f(x)g(x)+f(x)Δg(x)+Δf(x)g(x)+Δf(x)Δg(x)−f(x)g(x)Δx={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+\Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=} 

    =limΔx→0(f(x)Δg(x)Δx+g(x)Δf(x)Δx+Δg(x)Δf(x)Δx)={\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}}+g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}})=} 

    =f(x)g′(x)+g(x)f′(x)+0f′(x)={\displaystyle =f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=} 

    =f′(x)g(x)+f(x)g′(x){\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} ■

    • (Cf)′=Cf′{\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'} 
    • (fg)′=f′g−fg′g2{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}  …(g ≠ 0)

    Доказательство

    y(x)=f(x)g(x){\displaystyle y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}} 

    Δf(x)=f(x+Δx)−f(x){\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)} 

    Δg(x)=g(x+Δx)−g(x){\displaystyle \Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)} 

    y′(x

    ru-wiki.org

    Зачем нужна производная? — ПскоВики

    Материал из ПскоВики — сайта педагогического сообщества Псковской области

    Эссе

    Авторы: Рева Алена, Северикова Юлия, 10 класс, МОУ "Печорская средняя общеобразовательная школа № 3"

    Перед собой мы ставим вопрос: зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только? Ведь мы уже поняли, что производную применяют не только в математике, но и в экономике, физике.

    Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной - это мгновенная скорость Image1271.gif.

    При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом Image006.gif

    Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница, который использовал понятие бесконечно малой. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

    Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная «дочь»). Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.

    Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

    Оказывается также, что с помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказвывать тождества и неравенства и, даже, решать ворос о существовании корней квадратного уравнения.

    Производная нужна также и с в экономике. В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, по средством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

    Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин. Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

    Можно сделать вывод, что производная - одноиз самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

    wiki.pskovedu.ru