Системы уравнений, решению систем линейных уравнений. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными


Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Системой \( m \) линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными называется система уравнений вида

\( \begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2=b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2=b_2,\\ \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2=b_m. \end{cases} \)

(3.26)

Числа \( a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,2 \) называются коэффициентами системы; \( b_1,b_2,\ldots,b_m \) — свободными членами, \( x_1,x_2 \) — неизвестными.

Решением системы называется упорядоченная пара чисел \( (\alpha_1,\alpha_2) \) такая, что после замены неизвестных \( x_1,x_2 \) соответственно числами \( \alpha_1,\alpha_2 \) каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система (3.26) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

\( \begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2=0,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2=0,\\ \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2=0. \end{cases} \)

(3.27)

В отличие от однородной, систему общего вида (3.26) называют неоднородной.

Систему (3.26) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы

\( A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}\end{pmatrix}\!. \)

свободные члены записываем в столбец свободных членов \( b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix} \) , а неизвестные — в столбец неизвестных \( x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \)

Матричная запись неоднородной системы уравнений (3.26) имеет вид

а однородной:

где символ \( o \) в правой части обозначает нулевой столбец размеров \( m\times1\colon\, o=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0 \end{pmatrix} \) .

Блочная матрица \( (A\mid b)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}& \!\!\vline\!\!&b_1\\\vdots&\vdots&\!\!\vline\!\!&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\!\!\vline\!\!&b_m\end{pmatrix} \) называется расширенной матрицей системы (3.26).

Рассматривается случай, когда все уравнения системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого уравнения не равны нулю одновременно. Поэтому матрица \( A \) системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.

В соответствии с матричной записью решением системы (3.28) называется столбец \( x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix} \) , при подстановке которого в (3.28) получаем верное равенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец \( o \) является решением однородной системы (3.29), т.е. любая однородная система уравнений совместна.

Рангом системы уравнений (3.26) называется ранг матрицы \( A \) системы: \( r=\operatorname{rang}A \) , т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы \( A \) (максимальное число линейно независимых уравнений системы). Поскольку матрица системы (3.26) ненулевая и содержит два столбца, то ее ранг \( r=\operatorname{rang}A\leqslant2 \) . Ранг может быть равен либо единице ( \( r=1 \) , если все строки матрицы \( A \) пропорциональны), либо двум ( \( r=2 \) , если имеются две линейно независимые строки).

Выясним геометрический смысл и свойства решений системы уравнений (3.26).

Пусть на плоскости задана аффинная система координат \( Ox_1x_2 \) . Как показано ранее, множество точек \( X(x_1,x_2) \) , координаты которых удовлетворяют линейному уравнению с двумя неизвестными \( a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i \) , или \( a_{i1}x_1+a_{i2}x_2-b_i=0 \) , представляет собой прямую. Поэтому множество решений системы уравнений является пересечением прямых \( a_{i1}x_1+a_{i2}x_2-b_i=0,~i=1,\ldots,m \) .

Примеры пересечения прямых

Если ранг системы (3.26) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех уравнений пропорциональны. В этом случае любые две прямые параллельны (система уравнений несовместна (рис.3.31,а)) или совпадают (в этом случае вся система (3.26) равносильна одному, например, первому ее уравнению (рис.3.31,6)).

Если ранг системы равен 2, то в системе имеются хотя бы два линейно независимых уравнения. Прямые, соответствующие этим уравнениям, пересекаются, например, в точке \( X_0(x_{10},x_{20}) \) . Поэтому множество решений системы (3.26) либо одна точка (система совместна, все прямые проходят через точку \( X_0 \) , т.е. все прямые принадлежат собственному пучку прямых (рис.3.31,в)), либо пусто (система несовместна (рис.3.31,г)).

Для решения системы (3.26) обычно применяется метод Гаусса исключения неизвестных, при котором уравнения системы заменяются линейными комбинациями уравнений, содержащими меньшее количество неизвестных, при этом расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Продемонстрируем этот метод на примере.

Пример 3.17. Решить системы уравнений:

\( \mathsf{1)}\begin{cases}x_1-2x_2=1,\\2x_1-4x_2=2,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{2)}\begin{cases}x_1-2x_2=1,\\2x_1-4x_2=2,\\-x_1+2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{3)}\begin{cases}x_1+2x_2=3,\\x_1-4x_2=-3,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{4)}\begin{cases}x_1+2x_2=3,\\x_1-4x_2=-2,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \)

Изобразить множество решений на координатной плоскости \( Ox_1x_2 \) .

Решение.

1) Составляем расширенную матрицу системы \( (A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}. \)

Поскольку \( a_{11}=1\ne0 \) (элемент \( a_{11} \) — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую, умноженную на \( (-2) \) и на \( (-1) \) соответственно:

\( (A\mid b)= \begin{pmatrix}1&-1&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&0&\!\!\vline\!\!&-2\end{pmatrix}. \)

Последняя строка соответствует уравнению \( 0\cdot x_1+0\cdot x_2=-2 \) , которое не имеет решений. Следовательно, множество решений системы пустое (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31,а).

2) Составляем расширенную матрицу системы \( (A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}. \)

Поскольку \( a_{11}=1\ne0 \) (элемент \( a_{11} \) — ведущий), прибавим к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на \( (-2): \)

\( (A\mid b)=\!\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix} ~\Leftrightarrow~ \begin{pmatrix}1&-2\\0&0\\0&0\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}. \)

Система равносильна одному уравнению \( x_1-2x_2=1 \) . Множество ее решений представляет собой прямую на координатной плоскости \( Ox_1x_2 \) . Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют системе уравнений, следовательно, система имеет бесконечно много решений (рис.3.31,6).

3) Составляем расширенную матрицу системы \( (A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}. \)

Поскольку \( a_{11}=1\ne0 \) (элемент \( a_{11} \) — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1):

\( (A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!& 3\\ 1&-4& \!\!\vline\!\!&-3\\ 1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-6\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}. \)

Разделим вторую строку на (-6), а затем к первой и третьей строкам прибавим вторую, умноженную на (-2) и на 4 соответственно:

\( (A\mid b)\,\sim \begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-6\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&1&\!\!\vline\!\!&1\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&\!\!\vline\!\!&1\\0&1&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix} ~\Leftrightarrow~ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}. \)

Получили единственное решение \( x_1=1,~x_2=1 \) , которому соответствует точка \( X_0(1;1) \) на координатной плоскости (рис.3.31,в).

4) Составляем расширенную матрицу системы \( (A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}. \)

Поскольку \( a_{11}=1\ne0 \) (элемент \( a_{11} \) — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1):

\( (A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 1&-4&\!\!\vline\!\!&-2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}. \)

Разделим третью строку на (-4), а затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на 6:

\( (A\mid b)\,\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\ 0&1& \!\!\vline\!\!&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&0&\!\!\vline\!\!&1\\0&1&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}. \)

Вторая строка соответствует уравнению \( 0\cdot x_1+0\cdot x_2=1 \) , которое не имеет решений. Следовательно, система несовместна (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31,2).

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

calcsbox.com

Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Решение систем линейных уравнений  Описание слайда:

Решение систем линейных уравнений 

2 слайд Уравнение и его свойства Определение Уравнение – это равенство, содержащее од Описание слайда:

Уравнение и его свойства Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных Линейное уравнение с одной переменной Линейное уравнение с двумя переменными Свойства уравнений если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

3 слайд Система уравнений и её решение Определения Системой уравнений называется неко Описание слайда:

Система уравнений и её решение Определения Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

4 слайд Способы решения систем уравнений Описание слайда:

Способы решения систем уравнений

5 слайд Решение системы способом подстановки 7х - 2х - 4 = 1; 5х = 5; х=1; Ответ: х=1 Описание слайда:

Решение системы способом подстановки 7х - 2х - 4 = 1; 5х = 5; х=1; Ответ: х=1; у=6.

6 слайд Способ подстановки (алгоритм) Из какого-либо уравнения выразить одну переменн Описание слайда:

Способ подстановки (алгоритм) Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной Записать ответ: х=…; у=… .

7 слайд Решение системы способом сравнения Приравняем выражения для у 7х - 1=2х+4, 7х Описание слайда:

Решение системы способом сравнения Приравняем выражения для у 7х - 1=2х+4, 7х - 2х=4+1, 5х=5, х=1. Решим уравнение Ответ: (1; 6)

8 слайд Способ сравнения (алгоритм) Выразить у через х (или х через у) в каждом уравн Описание слайда:

Способ сравнения (алгоритм) Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение Записать ответ: х=…; у=… .

9 слайд Решение системы способом сложения ||·(-3) + ____________ Ответ: (3; - 10) Описание слайда:

Решение системы способом сложения ||·(-3) + ____________ Ответ: (3; - 10)

10 слайд Способ сложения (алгоритм) Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь пер Описание слайда:

Способ сложения (алгоритм) Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной Сложить почленно уравнения системы Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых Решить новое уравнение и найти значение одной переменной Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной Записать ответ: х=…; у=… .

11 слайд Решение системы графическим способом y=10 - x y=x+2 Выразим у через х Построи Описание слайда:

Решение системы графическим способом y=10 - x y=x+2 Выразим у через х Построим график первого уравнения у=х+2 Построим график второго уравнения у=10 - х Ответ: (4; 6)

12 слайд Графический способ (алгоритм) Выразить у через х в каждом уравнении Построить Описание слайда:

Графический способ (алгоритм) Выразить у через х в каждом уравнении Построить в одной системе координат график каждого уравнения Определить координаты точки пересечения Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

13 слайд -80 Решение системы методом определителей Составим матрицу из коэффициентов п Описание слайда:

-80 Решение системы методом определителей Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных  = 7·6 - 2·17 = 42 - 34 = 8 = 1·6 - 2·(-9) = 6 + 18 = 24 = 7·(-9) - 1·17 = - 63 -17= -80 Составим определи- тель x, заменив в определи- теле  первый столбец на столбец свободных членов Составим определи- тель y, заменив в определи- теле  второй столбец на столбец свободных членов x х=  = 24 8 = 3; у= y  = 8 = -10. Найдем х и у Ответ: х=3; у= -10.

14 слайд Метод определителей (алгоритм) Составить табличку (матрицу) коэффициентов при Описание слайда:

Метод определителей (алгоритм) Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель . Найти - определитель x, получаемый из  заменой первого столбца на столбец свободных членов. Найти - определитель y, получаемый из  заменой второго столбца на столбец свободных членов. Найти значение переменной х по формуле x / . Найти значение переменной у по формуле y / . Записать ответ: х=…; у=… .

15 слайд Самостоятельная работа Решите системы уравнений: 1) 3х – 2у=4, 5х+2у=12; 2) у Описание слайда:

Самостоятельная работа Решите системы уравнений: 1) 3х – 2у=4, 5х+2у=12; 2) у-2х=4, х – 3у=-2; 3) 3х – 4у=7, 2у +5х=3.

16 слайд Описание слайда:

Найдите материал к любому уроку,указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВсемирная историяВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеДругоеДругойЕстествознаниеИЗО, МХКИзобразительное искусствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИспанский языкИсторияИстория РоссииИстория Средних вековИтальянский языкКлассному руководителюКультурологияЛитератураЛитературное чтениеЛогопедияМатематикаМировая художественная культураМузыкаМХКНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирОсновы безопасности жизнедеятельностиПриродоведениеРелигиоведениеРисованиеРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФинский языкФранцузский языкХимияЧерчениеЧтениеШкольному психологуЭкология

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

loading

Общая информация

Номер материала: ДВ-064296

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

infourok.ru

6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

  • Главная
  • Видеотека
    • Естествознание
      • Физика
      • Математика
      • Химия
      • Биология
      • Экология
    • Обществознание
      • Обществознание - как наука
      • Иностранные языки
      • История
      • Психология и педагогика
      • Русский язык и литература
      • Культурология
      • Экономика
      • Менеджмент
      • Логистика
      • Статистика
      • Философия
      • Бухгалтерский учет
    • Технические науки
      • Черчение
      • Материаловедение
      • Сварка
      • Электротехника
      • АСУТП и КИПИА
      • Технологии
      • Теоретическая механика и сопромат
      • САПР
      • Метрология, стандартизация и сертификация
      • Геодезия и маркшейдерия
    • Программирование и сеть
      • Информатика
      • Языки программирования
      • Алгоритмы и структуры данных
      • СУБД
      • Web разработки и технологии
      • Архитектура ЭВМ и основы ОС
      • Системное администрирование
      • Создание программ и приложений
      • Создание сайтов
      • Тестирование ПО
      • Теория информации и кодирования
      • Функциональное и логическое программирование
    • Программы
      • Редакторы и компиляторы
      • Офисные программы
      • Работа с аудио видео
      • Работа с компьютерной графикой и анимацией
      • Автоматизация бизнеса
    • Прочие
      • Музыка
      • Природное земледелие
      • Рисование и живопись
  • Библиотека
    • Естествознание
      • Физика
      • Математика
      • Химия
      • Биология
      • Экология
      • Астрономия
    • Обществознание
      • Иностранные языки
    • Технические науки

forkettle.ru

Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Вопрос: Решение системы несовместных линейных уравнений методом наименьших квадратов (Basic -> C)

Решение системы несовместных линейных уравнений методом наименьших квадратов В головной программе необходимо: описать массивы: A[K ,N] – матрица коэффициентов системы уравнений, B[K] – вектор свободных членов , X[K] – вектор оценок неизвестных, Y[K] – вектор невязок, E[N,N], R[N,N], V[N,K] – рабочие массивы, ввести значения: N – количество неизвестных, K – количество уравнений, K>N, D1 – ключ вывода решения: D1=0 – вывод не нужен, D1=1 – вывод нужен, ввести массивы A[K ,N] , B[K]. Выходные данные: X[N] – вектор оценок неизвестных, Y[K] – вектор невязок, S0 – среднеквадратическая невязка . Пример: Решить систему линейных алгебраических уравнений: 2x +3x = 5; x - 2x = 7; 2x - x = 8. Исходные данные: N=2; [ 2 3 [ 5 K=3; A[3,2] = 1 -2 B[3] = 7 2 -1 ] ; 8 ] . D1=1; Головная программа:

Код QBasic/QuickBASIC

10  DIM A[ 3,2 ], B[3], X[2], Y[3], E[2,2], R[2,2], V[2,3] 12  READ N, K, D1 14  MAT READ  A, B 16  GOSUB 1000 18  DATA 2, 3, 1 20  DATA 2, 3, 1, -2, 2, -1 22  DATA 5, 7, 8 24  STOPРезультат решения задачи: ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ 3.90164 -1.05738 ЗНАЧЕНИЯ НЕВЯЗОК .368852 .983606 -.860657 Программа: СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ НЕВЯЗКА .784063

Код QBasic/QuickBASIC

1000    REM     SUB 1000(A, B, X, Y,N, K, S0, D1) 1001    REM 1002    REM РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕСОВМЕСТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ 1003    REM УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 1004    REM ,                    ‘ 1005    REM ОПИСАТЬ МАССИВЫ: 1006    REM          A[ K, N] – МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, 1007    REM          B[K]       – ВЕКТОР СВООДНЫХ ЧЛЕНОВ, 1008    REM          X[N]       – ВЕКТОР ОЦЕНОК НЕИЗВЕСТНЫХ, 1009    REM          Y[K]       – ВЕКТОР НЕВЯЗОК, 1010    REM          E[N,N], R[N,N], V[N, K] – РАБОЧИЕ МАССИВЫ. 1011    REM ВВЕСТИ ЗНАЧЕНИЯ : 1012    REM          N – КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ, 1013    REM          K – КОЛИЧЕСТВО УРАВНЕНИЙ , K>N 1015    REM          D1 – КЛЮЧ ВЫВОДА РЕШЕНИЯ ( 0 – ВЫВОД НЕ НУЖЕН, 1 – ВЫВОД НУЖЕН). 1016    REM ВВЕСТИ МАССИВЫ A[K, N], B[K]. 1017    REM S0 – СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ НЕВЯЗКА . 1018    REM 1020    MAT V=TRN (A) 1021    MAT E=U*A         . 1022    MAT R=INV (E) 1023    FOR I=1    TO   N 1024           LET S0=0. 1025           FOR J=1 TO K 1026         LET S0=S0+V[I, J]*B[J] 1027          NEXT J 1028          LET Y[I]=30 1029    NEXT I 1030    FOR I=1 TO M 1031          LET S0=0. 1032          FOR J=1 TO N 1033                 LET S0=S0+R[I, J]*Y[J] 1034         NEXT J    . 1035             LET  X[I]=S0 1036    NEXT  I 1037    MAT  Y=A*X 1038    MAT  Y=B-Y 1039    LET  S0=0. 1040    FOR  I=1  TO  K 1041           LET  S0=S0+Y[I]*Y[I] 1042    NEXT  I 1043    LET  SO=SQR(S0/K) 1044          IF  D1=0  THEN  1060 1045    PRINT  TAB(10) ; “ОЦЕНКИ НЕИЗВЕТНЫХ” 1046    PRINT 1047    FOR  I=1  TO  N 1048            PRINT  X[I], 1049    NEXT I 1050    PRINT 1051    PRINT 1052    PRINT  TAB(10); “ЗНАЧЕНИЯ НЕВЯЗОК” 1053    PRINT 1054    FOR  I=1  TO  K 1055            PRINT  Y[I], 1056    NEXT  I 1057    PRINT 1058    PRINT 1059    PRINT  TAB(10);”СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ НЕВЯЗКА   ”;S0 1060    RETURN

forundex.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 ,  a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (7) равносильна системе

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p(9)

      Если   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы,   то уравнение (9) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (8) равносильна системе

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Таким образом, в случае, когда   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы,   система (7) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

и его решением является любое число линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными. Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Системы уравнений, решению систем линейных уравнений

Понятие системы и ее розвязків

Определение: Если ставится задача найти все общие развязки двух (или более) уравнений с одной или несколькими переменными, то говорят, что надо розвязати систему уравнений.

Определение: Розвязком системы — такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений зміниих, что удовлетворяет сразу всем уравнениям системы, то есть розвязком системы двух или более уравнений с неизвестными называется такое упорядоченное множество множество чисел, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения превращаются в верные числовые равенства.

Определение: Розвязати систему уравнений — найти все ее развязки или доказать, что их нет.

Если система не имеет решения, то она несовместима.

Примеры систем

— система двух уравнений с двумя переменными

Пара то есть —решение системы

— система трех уравнений с тремя переменными

Тройка то есть — один из розвязків системы

Схема решению систем уравнений

Графический метод

  1. Выполняем равносильные преобразования, так, чтобы было удобно построить график функции. Например:
  2. Строим графики.
  3. Находим точки пересечения графиков. Координаты этих точек и есть розвязком данной системы уравнений.

Метод подстановки

  1. Из одного уравнения системы выражаем одну переменную через другую, всегда выбираем удобную переменную. Например, из уравнения выражаем переменную а не наоборот.
  2. Найденное значение подставляем в другое уравнение системы и получаем уравнение с одной переменной.
  3. Розвязуємо полученное уравнение
  4. Найденное значение подставляем в выраженное уравнение, и находим значение второй переменной.

Метод сложения

  1. Урівнюємо коэффициенты при одной из переменных путем по членного умножения обоих уравнений на множители, подобранные соответствующим образом.
  2. Добавляем (или отнимаем) почленно два уравнения системы, тем самым исключается одна переменная.
  3. Розвязуємо полученное уравнение.
  4. Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений.

Примеры решению систем уравнений

Решению графическим методом

Пример 1

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Строим графики

Построив графики увидим, что графики пересекаются в точке

Ответ:

Решению методом подстановки

Пример 2

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Из первого уравнения выражаем А полученное выражение подставляем во второе уравнение системы:

Полученное значение подставляем в выражение

Ответ:

Решению методом добавления

Пример 3

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Должны избавиться от переменной Умножаем почленно первое уравнение системы на 3, а второе – на 2.

Добавляем почленно уравнение и получаем:

Находим значение из первого уравнения системы:

Ответ:

Замечание: В методе добавления можно умножать не только на положительные числа, а и на отрицательные.

Каким способом розвязувати систему уравнений решать только Вам.

cubens.com

Видеоурок 6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

Видеокурс высшей математики. Урок 1. Определители 2 и 3 порядков

Урок: 1  

Видеоурок 2. Вычисление определителя методом разложения по элементам его строки или столбца

Урок: 2  

Высшая математика 3. Вычисление определителя третьего порядка. Правило треугольников

Урок: 3  

Видеоурок 4. Вычисление определителя третьего порядка методом присоединения строк (столбцов)

Урок: 4  

Видеоурок 5. Вычисление определителя методом приведения матрицы определителя к треугольному виду

Урок: 5  

Видеоурок 6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

Урок: 6  

Видеоурок 7. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Урок: 7  

Видеокурс высшей математики. Урок 8. Примеры решения систем трех линейных уравнений методом Крамера

Урок: 8  

Видеокурс высшей математики. Урок 9. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Урок: 9  

Видеокурс высшей математики. Урок 10. 1 часть. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Урок: 10  

Видеокурс высшей математики. Урок 10. 2 часть. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Урок: 11  

Видеокурс высшей математики. Урок 11. Показательная форма записи комплексного числа

Урок: 12  

Видеокурс высшей математики. 12. Разложение многочлена на множители

Урок: 13  

Видеокурс высшей математики. 13. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей

Урок: 14  

Высшая математика. 14. Часть 1. Примеры разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей

Урок: 15  

Высшая математика. 14. Часть 2. Примеры разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей

Урок: 16  

Видеокурс высшей математики. Урок 15. Матрицы. Виды матриц

Урок: 17  

Видеокурс высшей математики. Урок 16. Сложение и вычитание матриц. Умножение матрицы на число

Урок: 18  

Видеокурс высшей математики. Урок 17. Умножение матриц. Возведение матрицы в степень

Урок: 19  

Видеокурс высшей математики. Урок 18. Приведение матрицы к ступенчатому виду

Урок: 20  

Видеокурс высшей математики. Урок 19. Ранг матрицы. Ранг системы векторов

Урок: 21  

Видеокурс высшей математики. Урок 20. Вычисление определителей высоких порядков

Урок: 22  

Видеокурс высшей математики. Урок 21. Часть 1. Обратная матрица

Урок: 23  

Видеокурс высшей математики. Урок 21. Часть 2. Обратная матрица

Урок: 24  

Видеокурс высшей математики. Урок 22. Матричные уравнения

Урок: 25  

Видеокурс высшей математики. Урок 23. Системы линейных неоднородных уравнений. Общая теория

Урок: 26  

Видеокурс высшей математики. Урок 24. Метод обратной матрицы решения системы линейных уравнений

Урок: 27  

Видеокурс высшей математики. Урок 25. Метод Крамера решения системы линейных уравнений

Урок: 28  

Видеокурс высшей математики. Урок 26. Часть 1. Решений систем линейных уравнений методом Гаусса

Урок: 29  

Видеокурс высшей математики. Урок 26. Часть 2. Решений систем линейных уравнений методом Гаусса

Урок: 30  

Видеокурс высшей математики. Урок 27. Фундаментальная система решений

Урок: 31  

Видеокурс высшей математики. Урок 28. Примеры построения фундаментальной системы решений

Урок: 32  

Видеокурс. Урок 29. Задача: найти общее и одно частное решения системы лин неоднородных уравнений

Урок: 33  

Видеокурс высшей математики. Урок 30. Собственные значения и собственные векторы (теория)

Урок: 34  

Высшая математика. 31. Собственные значения и собственные векторы. Простое собственное значение

Урок: 35  

Высшая математика. 32. Собственные значения и собственные векторы. Комплексно-сопряженные значения

Урок: 36  

Видеокурс. 33. Собственные значения и собственные векторы. Случай кратного собственного значения

Урок: 37  

Высшая математика. 34. Собственные значения и собственные векторы. Присоединенные векторы

Урок: 38  

Видеокурс высшей математики. Урок 35. Часть 1. Линейные векторные пространства

Урок: 39  

Видеокурс высшей математики. Урок 35. Часть 2. Линейные векторные пространства

Урок: 40  

Видеокурс высшей математики. Урок 36. Преобразование координат. Матрица перехода

Урок: 41  

Видеокурс высшей математики. Урок 37. Евклидовы пространства

Урок: 42  

Видеокурс высшей математики. Урок 38. Квадратичные формы

Урок: 43  

Видеокурс высшей математики. Урок 39. Квадратичные формы. Преобразование переменных

Урок: 44  

Видеокурс высшей математики. Урок 40. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Урок: 45  

www.videxp.com