Все формулы основания прямоугольной трапеции. Основания трапеции по разные стороны от


Все формулы основания прямоугольной трапеции

1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию

длина оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

m - средняя линия

 

 

Формулы длины оснований :

 

 

2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании

длина оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

 

Формулы длины оснований :

 

3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали  и угол между ними

длина оснований трапеции через диагонали и угол между ними

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - боковая сторона под прямым углом к основаниям

d1 , d2 - диагонали трапеции

α , β - углы между диагоналями

 

 

Формулы длины оснований :

 

4. Формулы длины оснований трапеции через площадь

длина оснований трапеции через площадь

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - боковая сторона под прямым углом к основаниям

h - высота трапеции

 

 

Формулы длины оснований :

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

egemaximum.ru

Трапеция. Средняя линия трапеции. Основания трапеции. Боковая сторона трапеции.

Четырехугольник у которого две противоположные стороны параллельны, называется трапецией.  

Стороны трапеции, которые параллельны, называются основаниями, а те, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны по длине, то это равнобедренная трапеция.

  • \(DE\) и \(CF\) называются высотами  трапеции.
  •  \(AD\) и \(BC\) боковые стороны трапеции.
  • \(AB\) и \(CD\) основания трапеции.

 

Средняя линия трапеции

Отрезок линии, соединяющий середины сторон трапеции, которые не параллельны, называется средней линией трапеции:

 

 

  • \(MN\) - средняя линия трапеции \(ABCD\). \(M\)-середина \(AB\), \(N\)-середина \(BC\).
  • \(AM\) \(= MD\); \(BN = NC;\)

 \(MN\) средняя линия трапеции, \(AB\) и \(CD\) основания, \(AD\) и \(BC\) боковые стороны. Средняя линия трапеции параллелен ее сторонам. В нашем случае \(MN || AB || DC.\)

 

Теорема 1.

Если линия пересекает середину одной из сторон трапеции и параллельный ее основаниям, то она пересекает середину другой стороны.Теорема 2.

Средняя линия трапеции составляет половину длины двух параллельных сторон.

 

\(MN=\frac{AB + DC}{2}\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Формулы сторон трапеции

 

1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию

Длина основания трапеции через среднюю линию

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

m - средняя линия

 

 

Формулы длины оснований :

Формула длины стороны трапецииФормула длины стороны трапеции

 

2. Формулы длины сторон через высоту и углы при нижнем основании

Длина стороны трапеции

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

α, β - углы трапеции

h - высота трапеции

 

 

Формулы всех четырех сторон трапеции:

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапецииФормула длины стороны трапеции

 

3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина сторон трапеции через диагонали и высоту

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

d1 , d2 - диагонали трапеции

α , β - углы между диагоналями

h - высота трапеции

 

 

Формулы длины сторон трапеции:

Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

zdesformula.ru

Трапеция

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Элементы трапеции

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
  • Трапеция, у которой один из углов "прямой", называется прямоугольной.

Основные свойства трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

\[ AB + CD = BC + AD \]

Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

\[ AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD \]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]

Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

\[ \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{OC}{AO} = \dfrac{OB}{DO} \]

Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

\[ d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2 \]

Формулы длин сторон трапеции

Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

\[ a = 2m - b , b = 2m - a \]

Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\[ a = b + h · (ctg \alpha + ctg \beta) , b = a - h · (ctg \alpha + ctg \beta)\]

Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:

\[ a = b + c·cos \alpha + d·cos \beta, b = a - c·cos \alpha - d·cos \beta \]

Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\[ с = \dfrac{h}{sin \alpha }, d = \dfrac{h}{sin \beta } \]

Формулы длины средних линий трапеции

Формула определения длины средней линии через длины оснований:

\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]

Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

\[ m = \dfrac{S}{h} \]

Формулы длины высоты трапеции

Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:

\[ h = c·sin α = d·sin β \]

Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:

\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} = sin δ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} \]

Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2m2m} = sin δ · \dfrac{d_1}{d_2} \]

Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

\[ h = \dfrac{2S}{a + b} \]

Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

\[ h = \dfrac{2S}{m} \]

Формулы длин диагоналей трапеции

Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:

\[ d_1 = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad·cos β} \]

\[ d_2 = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac·cos β} \]

Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:

\[ d_1 = \sqrt{d^2 + ab - \dfrac{a(d^2 - c^2)}{a - b} } \]

\[ d_2 = \sqrt{c^2 + ab - \dfrac{ a(c^2 - d^2) }{a - b} } \]

Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:

\[ d_1 = \sqrt{h^2 + (a - h · ctg β)^2} = \sqrt { h^2 + (b + h · ctg α)^2} \]

\[ d_2 = \sqrt{h^2 + (a - h · ctg α)^2} = \sqrt{h^2 + (b + h · ctg β)^2} \]

Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:

\[ d_1 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab - d_2^2} \]

\[ d_2 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab - d_1^2} \]

Формулы площади трапеции

Формула площади трапеции через основания и высоту:

\[ S = \dfrac{ (a + b)· h }{2} \]

Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:

\[ S = m · h \]

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:

\[ S = \dfrac{d_1d_2}{2}· sin γ = \dfrac{d_1d_2}{2}· sin δ \]

Формула площади трапеции через четыре стороны:

\[ S = \dfrac{a + b}{2}\sqrt{c^2 - \left\lgroup\dfrac{(a - b)^2 + c^2 - d^2)}{2\cdot (a - b)} \right\rgroup ^2 } \]

Формула Герона для площади трапеции

\[ S = \frac{a + b}{\left|a-b\right| } \sqrt{(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)} \]

где \( p = \dfrac{a + b + c + d}{2} \) - полупериметр трапеции.

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Основания трапеции равны a и b, отрезок с концами на боковых сторонах трапеции

Формулировка задания: Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две трапеции, площади которых равны. Найти длину этого отрезка.

Решение:

Изобразим условие задачи на картинке:

Площадь большой трапеции равна:

SABCD = (a + b)/2 ⋅ (h2 + h3)

Пусть длина отрезка, которую нужно найти, равна c. Площади малых трапеций, образованных в результате добавления отрезка EF в трапецию ABCD, равны:

SEBCF = (b + c)/2 ⋅ h3

SAEFD = (a + c)/2 ⋅ h2

Известно, что:

SEBCF = SAEFD

(b + c)/2 ⋅ h3 = (a + c)/2 ⋅ h2

Кроме этого площадь большой трапеции равна сумме площадей двух малых трапеций. А так как площади малых трапеций равны, площадь большой трапеции равна удвоенной площади любой из малых трапеций:

SABCD = SEBCF + SAEFD = 2SAEFD

(a + b)/2 ⋅ (h2 + h3) = (a + c) ⋅ h2

Получили систему из двух уравнений, которую нужно решить:

(b + c)/2 ⋅ h3 = (a + c)/2 ⋅ h2

(a + b)/2 ⋅ (h2 + h3) = (a + c) ⋅ h2

Однако в ней получается много неизвестных: c, h2 и h3. Нужно избавиться от одного из неизвестных, чтобы система имела единственное решение. При этом мы знаем, что длины высот h2 и h3 зависят от длин оснований a и b, поэтому выполним следующую замену:

Теперь разделим оба уравнения на h3, чтобы избавиться в них от h2 и h3:

(b + c)/2 ⋅ h3 / h3 = (a + c)/2 ⋅ h2 / h3

(a + b)/2 ⋅ (h2 + h3) / h3 = (a + c) ⋅ h2 / h3

Получили систему из 2 уравнений с 2 неизвестными c и y:

b + c = (a + c) ⋅ y

(a + b)/2 ⋅ (y + 1) = (a + c) ⋅ y

Выразим из 1 уравнения y:

Подставим во 2 уравнение и решим его:

(a + b)/2 ⋅ ((b + c)/(a + c) + 1) = (a + c)⋅(b + c)/(a + c)

(a + b)/2 ⋅ ((b + c)/(a + c) + 1) = b + c

(a + b) ⋅ ((b + c)/(a + c) + 1) = 2 ⋅(b + c)

a ⋅(b + c)/(a + c) + b ⋅(b + c)/(a + c) + a + b = 2 ⋅(b + c)

a ⋅(b + c) + b ⋅(b + c) + a ⋅(a + c) + b ⋅(a + c) = 2 ⋅(b + c)⋅(a + c)

ab + ac + b2 + bc + a2 + ac + ab + bc = 2ab + 2bc + 2ac + 2c2

ac + bc + ac + bc – 2bc – 2ac – 2c2 = 2ab – ab – ab – a2 – b2

–2c2 = – a2 – b2

2c2 = a2 + b2

c2 = (a2 + b2)/2

c = √(a2 + b2)/2

Таким образом, длина отрезка c была вычислена.

Ответ: √((a2 + b2)/2)

worksbase.ru

Все формулы площади трапеции. Найти онлайн

Формулы площади трапеции
закрыть

Чтобы найти площадь трапеции онлайн по нужной вам формуле, введите в поля числа и нажмите кнопку "Посчитать онлайн".Внимание! Числа с точкой (2.5) надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Трапеция — четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

Площадь трапеции через основания и высоту

\(S= \frac{a+b}{2}h \)

\(S\) — площадь трапеции

\(a\) — основание

\(b\) — основание

\(h\) — высота

\(a =\)    \(b =\)    \(h =\)    

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

\(S= mh \)

\(S\) — площадь трапеции

\(h\) — высота

\(m\) — средняя линия трапеции

\(h =\)    \(m =\)    

Площадь трапеции через четыре стороны

\(S= \frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\left( \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)} \right)^2} \)

\(S\) — площадь трапеции

\(a, b, c, d\) — стороны

\(a =\)   \(b =\)   \(c =\)   \(d =\)   

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

\(S= \frac{1}{2}d_1d_2sin \alpha \)

\(S\) — площадь трапеции

\(d_1, d_2\) — диагонали

\(\alpha\) — угол между диагоналями \(d_1\) и \(d_2\)

\(d_1 =\)    \(d_2 =\)    \(\alpha = \)     Для равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол

\(S= \frac{4r^2}{sin \alpha}\)

\(S\) — площадь трапеции

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(\alpha\) — угол

\(r =\)    \(\alpha =\)     

100formul.ru