Калькулятор для расчета площади. Определение площадь квадрата


Площадь квадрата

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

S = a2

Доказательство

площадь квадрата

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

S = 1/n2 = (1/n)2 = a2.   (1) Пусть теперь число a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

площадь квадрата

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10n) = 1/10n.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10n)2. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m2 · (1/10n)2 = (m/10n)2 = ((a · 10n)/10n)2 = a2.

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число an, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от an не более чем на 1/10n, то an ≤ a ≤ an + 1/10n, откуда

an2 ≤ a2 ≤ (an + 1/10n)2.   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной an и площадью квадрата со стороной an + 1/10n:

площадь квадрата

т. е. между an2 и (an + 1/10n)2:

an2 ≤ S ≤ (an + 1/10n)2.   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (an + 1/10n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа an2. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a2. Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r2,S = 2R2,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

Площадь квадрата - формула, пример расчета

Квадрат – это правильный четырехугольник, в котором все углы и стороны равны между собой.Квадрат с диагональюДовольно часто эту фигуру рассматривают, как частный случай ромба или прямоугольника. Диагонали квадрата равны между собой и используются в формуле площади квадрата через диагональ.Для расчета площади рассмотрим формулу площади квадрата через диагонали:

S={d^2}/2

То есть площадь квадрата равна квадрату длины диагонали поделенному на два. Учитывая, что стороны фигуры равны, можно рассчитать длину диагонали из формулы площади прямоугольного треугольника или по теореме Пифагора.

Иконка карандаша 24x24Рассмотрим пример расчета площади квадрата через диагональ. Пусть дан квадрат с диагональю d = 3 см. Необходимо вычислить его площадь:S={3^2}/2=9/2=4,5 {cm}^2 По этому примеру расчета площади квадрата через диагонали мы получили результат 4,5 {cm}^2.

Площадь квадрата через сторону

Найти площадь правильного четырехугольника можно и по его стороне. Формула площади квадрата очень проста:

S=a*a=a^2 Иконка карандаша 24x24Так как в предыдущем примере расчета площади квадрата мы рассчитали значение по диаметру, теперь попробуем найти длину стороны: a=sqrt{S} Подставим значение в выражение: a=sqrt{4,5}=2,1 cm Длина стороны квадрата будет равна 2,1 cm.

Очень просто можно использовать формулу площади квадрата вписанного в окружность.квадрат вписанный в окружностьДиаметр описанной окружности будет равен диаметру квадрата. Так как квадрат считается правильным ромбом, можно использовать формулу расчета площади ромба. Она равна половине произведения его диагоналей. Диагонали квадрата равны, значит формула будет выглядеть так: S={d^2}/2Рассмотрим пример расчета площади квадрата вписанного в окружность.

Иконка карандаша 24x24Дан квадрат, вписанный в окружность. Диагональ окружности равна d= 6 см. Найдите площадь квадрата. Мы помним, что диагональ окружности равна диагонали квадрата. Подставляем значение в формулу расчета площади квадрата через его диагонали:S={6^2}/2=36/2=18 cm^2 Площадь квадрата равна 18 {cm}^2

Площадь квадрата через периметр

В некоторых задачах по условиям дается периметр квадрата и требуется расчет его площади. Формула площади квадрата через периметр выводится из значения периметра. Периметр – это сумма длин всех сторон фигуры. Т.к. в квадрате 4 равных стороны, то он будет равенP=4aОтсюда находим сторону фигуры a=P/4 Площадь квадрата по обычной формуле считается так: S=a^2.Рассмотрим пример расчета площади квадрата через периметр.

Иконка карандаша 24x24Дан квадрат с периметром P = 16 см. Найдите его площадь. Находим сторону:a=16/4=4 cm Теперь рассчитаем площадь:S=4^2=16 cm^2 Площадь данного квадрата равна 16 cm^2.

2mb.ru

Калькулятор для расчета площади

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.

Полезные калькуляторы Конвертер единиц площади | Конвертер единиц длины

Расчет площади прямоугольника

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади треугольника

Способ нахождения площади треугольника: По трем сторонамПо одной стороне и высоте, опущенной на эту сторонуПо двум сторонам и углу между ними

Вычислить

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади круга

Рассчитать площадь круга, если известен:

Вычислить

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади параллелограмма

Способ нахождения площади параллелограмма:По основанию и высоте параллелограммаПо двум сторонам и углу между нимиПо двум диагоналям и углу между ними

Вычислить

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади правильного многоугольника

Многоугольник с числом сторон n и длиной стороны аМногоугольник с числом сторон n, вписанный в окружность радиуса RМногоугольник с числом сторон n, описанный вокруг окружности радиуса r

Вычислить

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади эллипса

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади сектора круга

Рассчитать площадь сектора круга, если известен:

r=

ммсммкмфутярддюйммиля

Расчет площади сектора круга (рисунок)

θ=

ммсммкмфутярддюйммиля

град.рад.

Вычислить

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади трапеции

Способ нахождения площади трапеции: По двум основаниям a,b и высоте hПо двум основаниям a,b и боковым сторонам c,d

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры.

Метрические единицы измерения площади:   
Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м2 = 1 са (сантиар)
Квадратный километр - 1 км2 = 1 000 000 м2
Гектар - 1 га = 10 000 м2
Ар (сотка) - 1 а = 100 м2 (сотка как правило применяется для измерения земельных участков и равна 100 м2 или 10м х 10м)
Квадратный дециметр, 100 дм2 = 1 м2;
Квадратный сантиметр, 10 000 см2 = 1 м2;
Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм2 = 1 м2.

Данный онлайн-калькулятор удобен при расчете площадей помещений и земельных участков.

calc.by

Как найти площадь квадрата

Для вычисления площади и периметра квадрата нужно разобраться в понятиях этих величин. Квадрат представляет собой прямоугольник только с четырьмя одинаковыми сторонам, которые имеют между собой угол в 90°. Периметр — это сумма длин всех сторон. Площадь — это произведение длины прямоугольной фигуры на ее ширину.

Площадь квадрата и как ее найтиБез имени-1 kопировать

Как было сказано выше, квадрат — это прямоугольник, имеющий 4 равные стороны, поэтому ответом на вопрос: «как найти площадь квадрата» является формула: S = a*a или S = a2, где а — сторона квадрата. Исходя из этой формулы, легко находится сторона квадрата, если известна площадь. Для этого необходимо извлечь квадрат из указанной величины.

Например, S = 121, следовательно, а = √121 = 11. Если заданное значение отсутствует в таблице квадратов, то можно воспользоваться калькулятором: S = 94, а = √94 = 9,7.

Как найти периметр квадратаБез имени-2 kопировать

Периметр квадрата находится по легкой формуле: Р = 4а, где а — сторона квадрата.

Пример:

  • сторона квадрата = 5, следовательно, P = 4*5 = 20
  • сторона квадрата = 3, следовательно, Р = 4*3 = 12

Но существуют такие задачи, где заведомо обозначена площадь, а нужно найти периметр. При решении нужны формулы, которые представлены ранее.

Например: как найти периметр квадрата, если известна площадь, равная 144?

Шаги решения:

  1. Выясняем длину одной стороны: а = √144 = 12
  2. Находим периметр: Р = 4*12 = 48.

Нахождение периметра вписанного квадратаБез имени-6 kопировать

Существуют еще несколько способов нахождения периметра квадрата. Рассмотрим один из них: нахождение периметра через радиус описанной окружности. Здесь появляется новый термин «вписанный квадрат» — это квадрат, чьи вершины лежат на окружности.

Алгоритм решения:

  1. Здесь важно помнить, что отрезок от центра описанной окружности до одной из вершин квадрата является радиусом, поэтому чтобы вычислить периметр фигуры, нужно найти одну из четырех сторон. Условно квадрат делится на два прямоугольных треугольника, которые имеют равные катеты а и b. Их общая гипотенуза с равна радиусу, умноженному на 2, описанной — 2r.Без имени-7 kопировать
  2. Далее стоит обратиться к теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е. a2 + b2 = c2.
  • так как на рассмотрении квадрат, формулу можно выразить таким образом: a2 + a2 = (2r)2;
  • затем следует уравнение сделать проще: 2a2 = 4(r)2;
  • делим уравнение на 2: (a2) = 2(r)2;
  • извлекаем корень: a = √(2r).

В итоге получаем последнюю формулу: а (сторона квадрата) = √(2r).Без имени-8 kопировать

  1. Найденная сторона квадрата умножается на 4, далее применяется стандартная формула по нахождению периметра: P = 4√(2r).

Задача:

Дан квадрат, который вписан в окружность, ее радиус равен 5. Значит, диагональ квадрата равняется 10. Применяем теорему Пифагора: 2(a2) = 102, то есть 2a2 = 100. Делим полученное на два и в результате: a2 = 50. Так как это не табличное значение, используем калькулятор: а = √50 = 7,07. Умножаем на 4: Р = 4*7,07 = 28,2. Задача решена!Без имени-9 kопировать

Рассмотрим еще один вопрос

Часто в задачах встречается другое условие: как найти площадь квадрата, если известен периметр?

Мы уже рассмотрели все необходимые формулы, поэтому для решения задач подобного типа, необходимо умело их применять и связывать между собой. Перейдем сразу к наглядному примеру: Площадь квадрата равна 25 см2, найдите его периметр.Без имени-10 kопировать

Шаги решения:

  1. Находим сторону квадрата: а = √25 = 5.
  1. Находим сам периметр: Р = 4*а = 4*5 = 20.

Подводя итог, важно напомнить, что такие легкие формулы применимы не только в учебной деятельности, но и повседневной жизни. Периметр и площадь фигуры дети учатся находить еще в начальной школе. В средних классах появляется новый предмет — геометрия, где теорема Пифагора находится в самом начале изучения. Эти азы математики проверяются и по окончанию школы ОГЭ и ЕГЭ, поэтому важно знать эти формулы и правильно их применять.

Похожие статьи

kak-za4em.ru

Площадь квадрата — Циклопедия

48 Площадь квадрата // Видео уроки ОНЛАЙН [5:18]

Площадь квадрата — это число, характеризующее квадрат в единицах измерения площади.

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=4;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/4;

P4 — периметр правильного четырёхугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S4 — площадь правильного четырёхугольника.

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=4:

[math]S_4=a^2ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=4R^2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{4}} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=4r^2tg\frac{\pi}{4}, \ r=R\cos\frac{\pi}{4}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/4:

[math]S_4=a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{1}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{1}{2}a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=2R^2, \ R=\frac{\sqrt{2}}{2}a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_4=4r^2, \ r=\frac{\sqrt{2}}{2}R,[/math]

где [math]\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math], [math]\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math], [math]tg\frac{\pi}{4}=1[/math], [math]ctg\frac{\pi}{4}=1[/math].

[править] Другие многоугольники

cyclowiki.org

Как определить площадь квадрата? Vovet.ru

Первые вычисления площади в школьном курсе математики производятся на примере квадрата, поскольку формула для вычисления самая простая, соответственно и наиболее понятная. Квадрат – это правильный четырехугольник, задающийся точно с помощью единственного параметра – стороны. Для определения площади достаточно указанную величину умножить саму на себя.

площадь квадрата

Геометрия интересна тем, что часто очевидная задача приводит к разным способам ее решений. Рассмотрим отдельные примеры заданий.

Задача 1.

Рассмотрим вариант, когда квадрат задан с помощью длины диагонали. Путем нескольких несложных вычислений можно определить сторону квадрата и подставив результат в стандартную формулу площади, получить следующую формулу:

площадь квадрата

Задача 2.

Используем в примере периметр квадрата Р, значит формула преобразится:

площадь квадрата

Задача 3.

Впишем квадрат в окружность известного радиуса, тогда его площадь будет вычисляться:

площадь квадрата

Задача 4.

Опишем квадрат вокруг окружности известного радиуса, то

площадь квадрата

Задача 5.

В большой квадрат с длиной стороны равной а, вписан маленький квадрат. Вычислить площадь меньшего квадрата.

площадь квадрата

Полученные результаты вычислений измеряются в системе квадратных единиц. Например, если сторона, диагональ или радиус измерялись в сантиметрах, то соответственно площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах.

Почитайте еще, как определить площадь ромба или площадь параллелограмма.

vovet.ru

Как найти площадь квадрата

kvad1Понятие квадратного метра широко используется в разных областях жизни. Например, строительство невозможно без точных расчетов квадратных метров различных поверхностей. И часто поверхности не имеют формы точных геометрических фигур, и расчет квадратных метров производится несколько сложнее. Хотя, чтобы найти площадь сложных фигур используется, одна формула – длина фигуры, умноженная на ее ширину.

Если же необходимо узнать, как посчитать квадратные метры, к примеру, в квартире, используется не только метод измерения сторон комнат и умножения их друг на друга. Чтобы найти жилую площадь, необходимо применить понятие погрешности измерений, а также стоит учитывать углы комнаты, которые не всегда могут быть прямыми. В любом случае, независимо от того, что именно необходимо измерить, основополагающим принципом будет понятие площади квадрата и прямоугольника.

kvad2Что такое квадрат

Для того чтобы лучше понимать принцип нахождения площади различных геометрических фигур, стоит рассмотреть геометрическое понятие квадрата и прямоугольника. Квадрат, прежде всего параллелограмм, с равными сторонами, прямыми углами. Также его стоит считать ромбом, так как фигура обладает признаками этой геометрической фигуры.

Признаки квадрата

  1. Если обе диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов — данный ромб является квадратом.
  2. Если один угол ромба имеет размер в девяносто градусов, то есть является прямым, то данный ромб, это квадрат.
  3. Если две стороны ромба имеют одинаковую длину, то ромб является квадратом.
  4. Если диагонали ромба имеют одинаковую длину, то данный ромб, это квадрат.

Зная признаки данной фигуры, можно существенно облегчить измерение площади, если речь идет о крупных объектах. Для того, чтобы найти площадь любой геометрической фигуры, должны выполняться некоторые условия.

Условия вычисления площади квадрата

kvad3Во-первых, измерения сторон должны быть выполнены в одинаковых единицах измерения. Если длина сторон выражена в разных единицах, то необходимо одну единицу перевести в другую. Например, измеряемая фигура имеет большой размер, удобнее проводить измерение в метрах, если речь идет, к примеру, о чертежах, длина фигур выражается только сантиметрами. Перевести сантиметры в метры, необходимо знать, что в одном метре, как известно, сто сантиметров или тысяча миллиметров. Значит — для того, чтобы перевести метры в сантиметры, нужно количество метров умножить на сто, если необходимо перевести в миллиметры – умножить на тысячу. Если, необходимо наоборот, перевести сантиметры и миллиметры в метры, то нужно имеемое количество сантиметров разделить на сто, миллиметров – на тысячу.

Во-вторых, если необходимо определить площадь, какой – любо сложной фигуры, которая не подходит под определения квадрата, прямоугольника, необходимо разделить эту фигуру, проведя одну или несколько высот к сторонам. Таким образом, получится несколько фигур, удовлетворяющим свойствам прямоугольника, квадрата, минимум, их будет две. После производится вычисление каждой «маленькой» фигуры. Площадь основной фигуры определяется путем сложения этого показателя «маленьких» фигур.

В-третьих, если необходимо вычислить площадь фигуры или прямоугольника большого размера, можно упростить измерения и провести диагональ из противоположных углов. Площадь исходного прямоугольника будет равна сумме площадей получившихся двух треугольников. Также площадь одного треугольника будет равна этому показателю прямоугольника, разделенной на 2.

Расчет площади квадрата, используя только длину диагонали

kvad4Свойства данной геометрической фигуры таковы, что расчет ее площади, также можно производить, зная только длину его диагонали. Применяя при этом теорему Пифагора. Которая, как известно, гласит — длина гипотенузы, возведенная во вторую степень и сумма длин катетов, также, возведенных во вторую степень, равны. Чтобы найти площадь данной фигуры, используя только длину диагонали, нужно длину диагонали саму на себя, то есть возвести в квадрат, а потом разделить получившееся произведение на два.

Расчет площади квадрата по описанной окружности

Часто встречаются ситуации и задачи, когда необходимо найти площадь квадрата, который вписан в окружность. В этой ситуации стоит вспомнить, что данная фигура является ромбом и использовать формулу нахождения данного показателя ромба. Стоит учесть, что диаметр описанной вокруг фигуры окружности будет равен диагонали ее, значит, площадь квадрата равна длине диагонали, разделенной на два.

Периметр квадрата

Также, при измерении различных фигур, будет полезным умение найти периметр геометрических фигур. Как известно, периметром является сумма всех сторон. Это касается и определения периметра данной фигуры. С той лишь разницей, что, найти ее периметр получится и применяя метод, несколько проще. Нужно сложить длины двух сторон, которые, известно, у него равны, возвести сумму сторон во вторую степень.

Знание перечисленных несложных формул подсчета площади квадрата, прямоугольника, позволяют понять, как посчитать квадратные метры и сантиметры любого помещения. А также легко справляться с повседневными задачами.

Видео о том как найти площадь квадрата

ellewoman.ru