Урок математики на тему "Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа". 6-й класс. Объяснение темы наибольший общий делитель


Зачем вводить понятия "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" чисел в школьный курс математики?

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,9 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций , умению решать задачи красивыми методами.

При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно , если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения . Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.

При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще , если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.

Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

  • 16 = 2*2*2*2
  • 120 = 2*2*2*3*5

Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел , а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем : Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.

Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.

Делимое Делитель Частное Остаток
343 287 1 56
287 56 5 7
56 7 8 0

Итак, НОД(344,287) = 7

А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся , как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника , старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.

Таким образом, изучение в школе таких понятий , как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел

- позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;

- повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;

- позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;

- развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;

- создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Урок математики на тему "Наибольший общий делитель". 6-й класс

Разделы: Математика

Цели:

  • Образовательная цель: ввести понятие наибольшего общего делителя, познакомить с алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя.
  • Развивающая цель: развивать вычислительные навыки, умение ориентироваться в конкретной ситуации, переключаться с одного вида деятельности в другую.
  • Воспитательная цель: воспитывать интерес к математике

Методы: репродуктивный, частично-поисковый.

Форма: путешествие.

Оборудование: проектор, экран, презентация (Приложение 1), тест «Разложи меня» (Приложение 3), компьютеры, программа для запуска теста (в Приложении 3 установочный файл).

Ход урока

1. Организационный момент (5 мин).

На экране 1 слайд презентации.

Учитель проверяет готовность к уроку. Настраивает учащихся на деятельность. Знакомит с темой урока, целью урока. Проводит исторический экскурс, заинтересовывает данной темой.

(слайды №1–10)

2. Актуализация знаний и умений (5 мин)

На компьютерах заготовлен Uni-тест (установочный файл и файл самого теста прилагается)  по актуализации темы «Разложение числа на простые множители».

Тест называется «Разложи меня» (Приложение 3).

После того, как учащиеся выполнили тест и получили баллы, они баллы заносят в оценочный лист, который заранее был вклеен в тетрадь. (Приложение 2)

(слайды №11-12)

3. Организационный момент (1 мин)

Учащиеся усаживаются на свои рабочие места.

4. Объяснение нового материала (15 мин)

На экране показано задание:

Даны числа 15 и 45.

Задание классу: найдите все делители данных чисел и запишите их в тетрадях.

Через 3 мин. Проверяется это задание. На экране показывается ответ:

15: 1; 3; 5; 15

45: 1; 3; 5; 9; 15; 45

Перед проверкой учащиеся меняются тетрадями, и проходит взаимопроверка. Если все правильно, то ставится 1, если допущены ошибки, то 0. Далее учащиеся эти баллы ставят в оценочные листы.

Учитель предлагает следующее задание:

Подчеркните общие делители.

На экране показывается ответ:

15: 1; 3; 5; 15

45: 1; 3; 5; 9; 15; 45

За этим следует следующее задание:

Учитель следом задает вопрос: а какое среди этих подчеркнутых чисел самое большое?

Правильный ответ: 15.

Кто-нибудь сможет ответить словами, что же такое наибольший общий делитель?

«НОД – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b».

А если вам предложить числа намного больше, чем те, с которыми мы сейчас работали? Согласитесь, таким методом отыскания общего делителя работать неудобно.

Мы с вами сейчас вместе найдем другой способ отыскания НОД.

Даны те же самые числа 48 и 36.

Задание: разложите их на простые множители.

Учащиеся выполняют их в тетрадях.

Затем на экране показывается правильный ответ:

48=2*2*2*2*3

36=2*2*3*3

Перед этим учащиеся обмениваются тетрадями и идет взаимопроверка. Если все правильно, то ставится 1, если допущены ошибки, то 0. Баллы выставляются в оценочные листы.

Выберите одно из разложений:

48=2*2*2*2*3

36=2*2*3*3

Далее учитель вводит обозначение наибольшего общего делителя:

НОД(36;48)=2*2*3=12

Т.е. после равенства записываем произведение незачеркнутых чисел, взявших у одного числа.

После этого учитель проговаривает правило отыскания НОД двух чисел:

  1. Находим разложение чисел на простые множители.
  2. Зачеркиваем общие числа.
  3. Находим произведение зачеркнутых чисел у одного числа.
  4. Записываем ответ.

(слайды №13–25)

5. Этап применения знаний (5 мин)

Учитель предлагает выполнить задание. Один ученик выходит к доске и выполняет это задание.

Даны числа: 66 и 136

66=11*3*2

136=2*2*2*17

НОД(66; 136)=2

6. Этап рефлексии (5 мин)

Далее учащимся предлагается задание на заготовленном листочке:

Задание: Найдите НОД для чисел:

1) 16 и 48

2) 34 и 128

7. Итоги урока (4 мин)

  1. Учитель с помощью учащихся проговаривает определение НОД и правило отыскания НОД.
  2. В конце классной работы учитель просит выбрать вариант настроения, который им соответствует (варианты настроения изображены в листах-контроля.
  3. В конце урока сдаются тетради.

Листы контроля вклеены в тетрадях у каждого.

Д.З. №-ра из учебника.

(слайды №26-27)

Спасибо за урок!

После урока учитель проверяет последние два задания и проставляет баллы в листы, подсчитывает итог и выставляет оценки. Оценки объявляются на следующем уроке.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Урок математики на тему "Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа". 6-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (183,1 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Данная работа предназначена для сопровождения объяснения новой темы. Практические и домашние задания учитель подбирает на свое усмотрение.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Ход объяснения

Слайд 1. Наибольший общий делитель.

Устная работа.

1. Вычислите:

а)

0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

б)

5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

Ответы: а) 8; б) 3.

2. Опровергните утверждение: Число “2” является общим делителем всех чисел”.

- Очевидно, что нечетные числа не делятся на 2.

3. Как называются числа, кратные 2?

- Четные.

4. Назовите число, которое является делителем любого числа.

- 1.

Письменно.

1. Разложите число 2376 на простые множители.

Решение.

Слайд 2.

2. Найдите все общие делители чисел 18 и 60.

Решение.

Делители числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Далее учащиеся называют общие делители: 1; 2; 3; 6.

- Назовите наибольший общий делитель чисел 18 и 60.

- Число 6.

- Попробуйте сформулировать, какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел

Правило. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа , называют наибольшим общим делителем.

Пишут: НОД (18; 60) = 6.

- Скажите, пожалуйста, удобен ли рассмотренный способ нахождения НОД?

- Нет.

- Почему?

- Числа могут быть слишком большие и для них трудно перечислить все делители.

Слайд 3.

Давайте попытаемся найти другой способ нахождения НОД.

Разложим числа 18 и 60 на простые множители:

18 =

- Приведите примеры делителей числа 18.

- Числа: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

- Приведите примеры делителей числа 60.

- Числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

- Приведите примеры общих делителей чисел 18 и 60.

- Числа: 1; 2; 3; 6.

- Как можно найти наибольший общий делитель 18 и 60?

Алгоритм.

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Сравнить множители чисел и вычеркнуть разные.

3. Вычислить произведение оставшихся множителей.

Слайд 4. Взаимно простые числа.

Задание. Найдите НОД чисел 24 и 35.

Решение.

Правило. Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Это интересно!

  • Делители числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
  • Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.
  • НОД (18;60) = 6.
  • Делители числа 6: 1; 2; 3; 6.
  • Заметим, что числа 1; 2; 3; 6 являются общими делителями чисел 18 и 60.
  • Например, НОД (108;196) = 4. Значит, сразу можно сказать, что общие делители чисел 108 и 196 – это делители числа 4, то есть 1; 2; 4.

Каждый делитель числа НОД (a;b) является общим делителем чисел a и b и, наоборот, каждый их общий делитель является делителем числа НОД (a;b).

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2, 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел -12 и 9, поскольку верны равенства 9=3·3 и −12=3·(−4). У чисел 3 и -12 есть и другие общие делители, такие, как 1, −1 и −3. Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3, −11, −8 и 19 будет два общих делителя: 1 и -1.

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b, то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на -b.  В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0. Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a, которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль

www.zaochnik.com

Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида (математика класс)

Найти наибольший общий делитель двух чисел можно разными способами. Некоторые из них были рассмотрены ранее. Этот урок посвящен  еще одному алгоритму нахождения НОД – алгоритму Евклида. Он рассматривается в двух вариантах: с вычитанием и с делением. Рассмотренные примеры дают возможность разобрать и закрепить новый материал.

Тема: Делимость чисел

Урок: Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.

 

Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называют наибольший из общих делителей этих чисел.

НОД можно найти

- выписав все делители первого и все делители второго числа

- разложив на простые множители оба числа.

Алгоритм Евклида – это еще один способ для нахождения НОД двух чисел.

 

Алгоритм Евклида с вычитанием:

Пусть даны два числа. Большее из них заменим разностью этих чисел. Этот процесс будем повторять до тех пор, пока не останется два одинаковых ненулевых числа. Одно из этих чисел  запишем как НОД исходных чисел.

НОД(420; 150) = НОД(270; 150)= 

 = НОД(120; 150)= НОД(120; 30)=

 = НОД(90; 30) = НОД(60; 30) = НОД(30; 30) =30 

Заменим большее число 420 разностью исходных чисел: 420-150=270. Теперь будем искать НОД(270;150)
Заменим большее число 270 разностью исходных чисел: 270-150=120. Теперь будем искать НОД(120;150)

Заменим большее число 150 разностью исходных чисел: 150-120=30. Теперь будем искать НОД(120; 30)

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не останется два одинаковых ненулевых числа. Получили НОД(30; 30).Значит искомое число – это 30.

Алгоритм Евклида с делением:

Пусть даны два числа. Большее из них заменим остатком от деления на меньшее. Этот процесс будем повторять до тех пор, пока не останется одно ненулевое число. Это число и будет НОД исходных чисел.

 

НОД(420; 150)=

НОД(120; 150)=

= НОД(120; 30) = НОД(0; 30)= 30

Ответ:   

НОД(420; 150) = 30

 

Заменим большее число 420 остатком от деления на число 150: . Теперь будем искать НОД(120;150)

Заменим большее число 150 остатком от деления на число 120: . Теперь будем искать НОД(120;30)

Заменим большее число 120 остатком от деления на число 30: .

Осталось одно ненулевое число. Это число – 30. Значит,

НОД(420; 150) = 30.

 

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не останется два одинаковых ненулевых числа:

= НОД(41; 123) = НОД(41; 82) = НОД(41; 41) = 41

Число 41 – это НОД исходных чисел 451 и 287.

 

Заменим большее число 42628 на остаток от деления 9504. Теперь будем искать НОД(9504; 33124)

Заменим большее число 33124 на остаток от деления 4612. Теперь будем искать НОД(9504; 4612)

НОД (4612; 280) - ?

Продолжим процесс до тех пор, пока не получим одно ненулевое число. Это число – 4. Это и будет НОД.

 

Итак, НОД(42628; 33124) = НОД(16; 4) = НОД(0; 4) = 4

 

НОД (132; 280)-?

НОД (16; 132) - ?

НОД (4; 16) - ?

 

Замечание. В данном примере исходные числа достаточно большие, поэтому рационально использовать алгоритм Евклида с делением.                                 

Используем алгоритм Евклида с вычитанием и получим:

НОД(231; 280) = НОД(231; 49) = НОД(182; 49)=

= НОД(33; 49) = НОД(33; 16) = НОД(17; 16)

Заметим, что 17 – это простое число, т. е. у него ровно два делителя: 1 и 17. Очевидно, что НОД(17; 16) = 1. Значит, исходные числа являются взаимно простыми.

Можно продолжить алгоритм Евклида и получить два ненулевых числа, равных единице. Действительно:

НОД(17; 16) = НОД(1; 16) = НОД(1; 15) = НОД(1; 14) =………. НОД(1; 1) =1

Воспользуемся алгоритмом Евклида с вычитанием:

НОД (2а; 2а+2) = НОД (2а; 2а+2-2а) = НОД (2а; 2)

Число 2 – простое. Оно имеет ровно два делителя: 2 и 1. Очевидно, что число 2а делится на два. Значит, НОД (2а; 2) = 2.

Список литературы

1.     Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2.     Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3.     Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989. 

4.     Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011. 

5.     Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6.     Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика онлайн (Источник).

2. Math-portal.ru (Источник).

    Можно скачать книги,  указанные в п. 1.2. данного урока.

 

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)

Домашнее задание:  № 190, №152, №184.

Другие задания: №189

mirror.vsibiri.info

Открытый урок по математике "Наибольший общий делитель"

Разделы: Математика

Тип урока: закрепление изученного материала.

Цели урока:

  • Формировать навыки нахождения НОД с помощью разложения на простые множители, решать задачи с помощью НОД.
  • Формировать умение самостоятельно проверять правильность выполнения задания.
  • Повышать уровень математической культуры.
  • Формировать интерес к математике.
  • Развивать логическое мышление учащихся.

Средства обучения: персональный компьютер (работа в среде POWER POINT), интерактивная доска. (Презентация)

Ход урока

I. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята! Проверьте все ли готово у вас к уроку: дневник, учебник, тетрадь, ручка. Черновики, для тех, кому тяжело вычислять в уме.

II. Сообщение темы урока и цели.

- Чем мы занимались на прошлом уроке? (Учились находить наибольший общий делитель). Сегодня мы продолжим работу с наибольшим общим делителем. Тема нашего урока: “Наибольший общий делитель”. На этом уроке мы будем находить наибольший общий делитель нескольких чисел, и решать задачи, используя знания о нахождении наибольшего общего делителя.

- Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока: “Наибольший общий делитель”.

III. Устная работа.

- Итак, давайте расшевелим ваши серые клеточки и ответим на вопрос: “Верно ли высказывание?”. Свой ответ нужно объяснить. (слайд 2)

- Простое число имеет ровно два делителя. (Да, единицу и само это число)

- Составное число имеет один делитель. (Нет, так как составное число должно иметь более 2 делителей)

- Наименьшее двузначное простое число – это 11. (Да, число 10 составное)

- Наибольшее двузначное составное число – это 99. (Да, оно делится на 1, 3, 99. А следующее по счету число трехзначное).

- Некоторые составные числа нельзя разложить на простые множители. (Нет, любое составное число можно разложить на простые множители)

- Число 96 – простое. (Нет, оно делится на 1, 3, 96 – 3 делителя – составное число)

- Числа 8 и 10 взаимно простые. (Нет, есть общий делитель 2)

IV. Выполнение упражнений.

- Проверьте правильно ли выполнено разложение на простые множители. (Нет, число 10 составное, а мы раскладываем на простые множители. 10 можно заменить произведением простых чисел 2 и 5). (Слайд 3)

- Найдите ошибку. (Число 9 составное). Расскажите, как находят наибольший общий делитель? (Слайд 4)

- Что неверно? (У чисел 28 и 21 один общий делитель - 7). (Слайд 5)

Найдите наибольший общий делитель чисел 72, 54 и 36. Выполняя задание проговариваем каждый этап. Работаем у доски в тетрадях (Слайд 6)

НОД (72, 54, 36) = 2*3*3 = 18

Ответ: 18

Являются ли взимно простыми числа 64 и 81.

НОД (64, 81) = 1

Ответ: числа 64 и 81 взаимно простые.

V. Решение задач.

- Решите задачу. (У доски и в тетради)

Для первоклассников купили 270 фломастеров и 675 карандашей. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них было одинаковое число фломастеров и одинаковое число карандашей? Сколько фломастеров и карандашей будет в каждом подарке? (Слайд 7)

Фломастеры – 270 шт., по ? шт. в 1 п.

Карандаши – 675 шт., по ? шт. в 1 п.

Всего подарков - ? шт.

Решение.

1) 3·3·3·5=135 (п.) – приготовят

2) 270:135=2 (ф.) – в 1 подарке

3) 675:135=5 (к.) – в 1 подарке

Ответ: 135 подарков, 2 фломастера, 5 карандашей.

VI. Физминутка.

- Сядьте равно. Руки положите за спины. Не поворачивая головы, посмотрите на окно, на стенд на противоположной стороне, наверх, на парту, на доску. Закройте глаза, представьте голубое небо. Откройте глаза. Руки положите на стол. Продолжим…

- Следующая задача.

В депо из одинаковых вагонов было сформировано 2 поезда. Первый – на 456 пассажиров, второй – на 494 пассажира. Сколько вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 30? (Слайд 8)

1 поезд – 456 пас., ? ваг.

2 поезд – 494 пас., ? ваг.

Общее число вагонов < 30 шт.

Решение.

1) 19·2=38 (м.) – в каждом вагоне

2) 456:38=12 (в.) – в 1 составе

3) 494:38=13 (в.) – во 2 составе

Проверка: 12+13=25 (в.)

25<30

Ответ: 12 вагонов, 13 вагонов.

VII. Самостоятельная работа.

- При выполнении заданий в самостоятельной работе не забывайте о признаках делимости и об остальных правилах. Желаю удачи! (Слайд 9)

- Сдайте тетради. Сейчас мы проверим, правильно ли вы выполнили задания. (Анализ допущенных ошибок.) (Слайд 10)

VIII. Домашнее задание

- Давайте запишем домашнее задание, а после подведем итог урока. Итак, откройте дневники и запишите домашнее задание:

п. 6 стр. 21, № 161, 182, 192 (устно). (Слайд 11)

IX. Подведение итогов.

- Какую мы цель сегодня ставили? (Научиться решать задачи с помощью нахождения НОД).

- Какие числа называются взаимно простыми?

- Как найти НОД?

- Кого надо отметить за хорошую работу? (Выставление оценок за работу на уроке)

X. Используемая литература

  1. Математика 6 класс. Н.Я. Виленкин и др. 2001
  2. Математические диктанты 5-9 классы. Е.Б. Арутюнян и др. 1991
  3. Дидактические материалы по математике 6 класс. А.С. Чесноков и др. 2005

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Находим Наибольший Общий Делитель и Наименьшее Общее Кратное!

В статье обсудим 2 очень важных понятия: наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД). Поговорим, зачем они нужны и доступно объясним, как находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное на простых и понятных примерах.Начнем с определений.

Наибольший общий делитель – это наибольшие число, на которое можно поделить исходные числа без остатка.К примеру, возьмем числа 6 и 18. Они оба делятся без остатка на 1, на 2, на 3 и на 6.Наибольшее из перечисленных чисел 6. Это и есть наибольший общий делитель для чисел 6 и 18.

Наименьшее общее кратное – это наименьшее число, которое делиться на исходные числа без остатка.Возьмем те же числа 6 и 18. Самое очевидно число, которое делиться на оба числа без остатка это число, равное их произведению.6*18 = 108Однако число 54, тоже делиться на оба числа без остатка. 54:18=3 и 54:8=7 .Также число 18 делиться и на 18 и на 6.Оно и есть самое наименьшее из возможных, поскольку число меньшее 18(17, 16 и т.д) на 18 нацело мы поделить не сможем, получиться дробь.Таким образом, для чисел 6 и 18 наименьшее общее кратное 18.

Для чего нам нужно уметь находить общие наибольший делитель и наименьшее кратное?Без них мы не сможем выполнять элементарные операции с дробями.К примеру, нам нужно сократить дробь.6/18 . Для того, чтобы сократить эту дробь нам достаточно для числителя и знаменателя найти наименьший общий делитель и поделить и числитель, и знаменатель на него.Мы знаем, что для чисел 6 и 18, НОД = 6.Таким образом,6/18 = (6:6)/(18:6) = 1/3Для того, чтобы элементарно складывать дроби нам необходимо уметь находить наименьшее общее кратное.Попробуем сложить дроби1/18 и 1/6, для это находим НОК для знаменателей или так называемый наименьший общий знаменатель.Для знаменателей 18 и 6 мы уже знаем, что НОК (он же наименьший общий знаменатель) равен 18.Приводим дроби к общему знаменателю1/18 + 1/6 = 1/18 + 3/18 = 4/18

Дробь 4/18 можно сократить. НОД для чисел 4 и 18, равен 2. Таким образом 4/18 = 2/9 В итоге получаем 1/18+1/6 = 2/9 Подробно про решение дробей мы рассказываем в отдельной статье.

Для простых чисел НОД и НОК мы можем находить без труда, если понимаем что это за числа и хорошо знаем таблицу умножения.Для больших чисел нахождение наибольшего общее делителя и наименьшего общего кратного становиться проблематичным, поскольку в уме такие операции делать сложно.Для нахождения НОД в данном случае используется алгоритм Евклида.Для этого мы делим большее число на меньшее, вычисляя остаток. На этот остаток нам нужно поделить число, на которое мы делили до этого. И так мы делим до момента пока в остатке не окажется 0. Последний целый делитель и есть НОД для исходных чисел.Понять на примере это намного проще, поэтому пример.

К примеру, нам нужно найти НОД для чисел 543 и 4651. Делим большее на меньшее.543/465 = 1 + остаток 543-465 = 78 . Оно не равно нулю, продолжаем делить2. Делим последний делитель (465) на остаток.465/78 = 5 + остаток 465 – 5*78 = 465-390 = 75. Оно не равно нулю, продолжаем делить3. Делим последний делитель (78) на остаток.78/75 = 1 + остаток 78 – 75 = 3. Оно не равно нулю, продолжаем делить4. Делим последний делитель (75) на остаток.75/3 = 25 Остаток равен 0.НОД равен последнему целому делителю 3.

Чтобы найти наименьшее общее кратное для больших чисел достаточно найти наибольший общий делитель. И произведение этих чисел просто напросто поделить на найденный НОД.К примеру, для наших чисел 543 и 465 , наименьшее общее кратное равноНОК = 543*465/НОД = 543*465/3 = 84165

Очень важно поставить навык нахождения НОД и НОК для простых чисел и отработать алгоритм Евклида. Прорешайте хотя бы по 10 примеров на каждый случай.Проверить ответ после решения вы можете воспользовавшись онлайн сервисами, которых достаточно много в интернете.

На этом у нас всё. Удачных решений.Свои вопросы, если они появились обязательно пишите в комментариях.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru