Все формулы медианы прямоугольного треугольника. Медианы равнобедренного треугольника формула


Медиана в равнобедренном треугольнике, все формулы

Определение и формулы медианы равнобедренного треугольника

Медиана в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.

Для медиан равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает равнобедренный треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.
  • Весь равнобедренный треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих (т.е. с одинаковой площадью) треугольников.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, вычисляется по формуле:

    \[m_{c} =\frac{1}{2} \sqrt{4a^{2} -c^{2}} ,\]

где c – основание равнобедренного треугольника, a – боковые стороны треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти медиану равнобедренного треугольника

Треугольник именуется равнобедренным, если у него есть две равных стороны. Они именуются боковыми. Третья сторона именуется основанием равнобедренного треугольника. Такой треугольник владеет рядом специфических свойств. Медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Таким образом в равнобедренном треугольнике две различные медианы, одна проведена к основанию треугольника, вторая — к боковой стороне.

Инструкция

1. Пускай дан треугольник ABC, являющийся равнобедренным. Вестимы длины его боковой стороны и основания. Нужно обнаружить медиану, опущенную на основание этого треугольника. В равнобедренном треугольнике эта медиана является единовременно медианой, биссектрисой и высотой. Вследствие этому свойству, обнаружить медиану к основанию треугольника дюже примитивно. Воспользуйтесь теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD: AB² = BD² + AD², где BD — желанная медиана, AB — боковая сторона (для комфорта пускай она равна a), а AD — половина основания (для комфорта возьмите основание равным b). Тогда BD² = a² — b²/4. Обнаружьте корень из этого выражения и получите длину медианы.

2. Чуть больше трудно обстоят дела с медианой, проведенной к боковой стороне. Для начала изобразите обе таких медианы на рисунке. Эти медианы равны. Обозначьте боковую сторону буквой a, а основание — b. Обозначьте равные углы при основании α. Вся из медиан делит боковую сторону на две равные части a/2. Обозначьте длину желанной медианы x.

3. По теореме косинусов дозволено выразить всякую сторону треугольника через две другие и косинус угла между ними. Запишем теорему косинусов для треугольника AEC: AE² = AC² + CE² — 2AC·CE·cos∠ACE. Либо, что то же, (3x)² = (a/2)² + b² — 2·ab/2·cosα = a²/4 + b² — ab·cosα. По условиям задачи стороны вестимы, а вот угол при основании нет, следственно вычисления продолжаются.

4. Сейчас примените теорему косинусов к треугольнику ABC, дабы обнаружить угол при основании: AB² = AC² + BC² — 2AC·BC·cos∠ACB. Другими словами, a² = a² + b² — 2ab·cosα. Тогда cosα = b/(2a). Подставьте это выражение в предыдущее: x² = a²/4 + b² — ab·cosα = a²/4 + b² — ab·b/(2a) = a²/4 + b² — b²/2 = (a²+2b²)/4. Вычислив корень правой части выражения, вы обнаружите медиану, проведенную к боковой стороне.

Под медианой треугольника воспринимается отрезок, тот, что соединяет одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Из определения следует, что всякий треугольник имеет три медианы.

Вам понадобится

  • Знание длин сторон треугольника.

Инструкция

1. Для расчета длины медианы используется формула (см. рис. 1), где:mc — длина медианы;а, b, c — стороны треугольника.

Как обнаружить медиану

Обратите внимание! Медианы треугольника владеют свойствами:1) любая из 3 медиан разделяет начальный треугольник на два равных по площади треугольника;2) Все медианы треугольника владеют цельной точкой пересечения. Эта точка именуется центром треугольника;3) Медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими именуются геометрические фигуры с равными площадями.

Полезный совет Если треугольник является равносторонним, то его медианы равны. Помимо этого, в таком треугольнике медианы совпадают с биссектрисами и высотами.Биссектрисой именуется луч, тот, что исходит из всякий вершины треугольника и делит образованный ею угол напополам. Под высотой треугольника подразумевается отрезок, тот, что проведен из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Равнобедренным называют треугольник, у которого 2 стороны равны. Из определения следует, что верный треугольник тоже является равнобедренным, но обратное заявление неверное. Существует несколько методов того, как рассчитать стороны равнобедренного треугольника .

Вам понадобится

  • Знать, по вероятности, углы треугольника и правда бы одну из его сторон.

Инструкция

1. Метод 1. Выходит из теоремы синусов треугольника. Теорема синусов гласит: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 1)Из этой формулы вытекает следующее равенство:a = 2Rsin?,b = 2Rsin?

рис. 1. R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

2. Метод 2. Выходит из теоремы косинусов треугольника. Согласно этой теореме, для всякого плоского треугольника со сторонами a, b, c и углом ?, тот, что лежит наоборот стороны, объективно равенство на рис. 2Отсюда существует следствие:a = b/2cos?;Также из теоремы косинусов существует еще 1 следствие:b = 2a*sin(?/2)

Как обнаружить <b>сторону</b> равнобедренного треугольника

Медианой треугольника именуется отрезок, соединяющий всякую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке неизменно внутри треугольника . Эта точка делит всякую медиану в отношении 2:1.

Инструкция

1. Медиану дозволено обнаружить применяя теорему Стюарта. Согласно которой, квадрат медианы равен четверти суммы удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана.mc^2 = (2a^2 + 2b^2 — c^2)/4,гдеa, b, c — стороны треугольника .mc — медиана к стороне с;

2. Задача по нахождению медианы может быть решена через добавочные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.Продлим стороны треугольника и медиану , достроив их до параллелограмма. Таким образом, медиана треугольника будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, две стороны треугольника — его боковым сторонам (a, b), а третья сторона треугольника , к которой была проведена медиана, является 2-й диагональю получившегося параллелограмма. Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,гдеd1, d2 — диагонали получившегося параллелограмма;отсель:d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) — d2^2)

Треугольник и добавочные построения

Определение медианы прямоугольного треугольника — это одна из базовых задач в геометрии. Зачастую ее нахождение выступает в роли вспомогательного элемента в решение какой-нибудь больше трудной задаче. В зависимости от имеющихся данных, поставленную задачу дозволено решить несколькими методами.

Вам понадобится

  • учебник по геометрии.

Инструкция

1. Стоит напомнить, что треугольник является прямоугольным, если один и его углов равен 90 градусов. А медиана — это отрезок опущенный из угла треугольника на противолежащую сторону. Причем он делит ее на две равные части. В прямоугольном треугольнике ABC, у которого угол АВС является прямым, медиана BD, опушенная из вершины прямого угла, равняется половине гипотенузы AC. То есть, для того, дабы обнаружить медиану , поделите значение гипотенузы на два: BD=AC/2.Пример: Пускай в прямоугольном треугольнике АВС (АВС-прямой угол), знамениты значения катетов AB=3 см., BC=4 см., обнаружьте длину медианы ВD, опущенной из вершины прямого угла. Решение:1) Обнаружьте значение гипотенузы. По теореме Пифагора AC^2 = AB^2+BC^2. Следственно AC = (AB^2+BC^2)^0,5 = (3^2+4^2)^0,5 = 25^0,5 = 5 см2) Обнаружьте длину медианы по формуле: BD = AC/2. Тогда BD = 5 см.

2. Идеально иная обстановка появляется при нахождение медианы, опущенной на катеты прямоугольного треугольника . Пускай у треугольника АВС, угол В прямой, а АЕ и СF медианы опущенные на соответствующие катеты ВС и АВ. Здесь длинна этих отрезков находится по формулам: АЕ=(2(АВ^2+AC^2)-BC^2)^0,5/2СF=(2(BC^2+AC^2)-AB^2)^0,5/2 Пример: У треугольника АВС, угол АВС является прямым. Длина катета АВ = 8 см, угол BCA = 30 градусов. Обнаружьте длины медиан, опущенных из острых углов.Решение:1) Обнаружьте длину гипотенузы АС, ее дозволено получить из соотношения sin(BCA)=AB/AC. Отсель AC=AB/sin(BCA). AC=8/sin(30)=8/0,5=16 см.2) Обнаружьте длину катета АС. Проще каждого ее дозволено обнаружить по теореме Пифагора: AC = (AB^2+BC^2)^0,5, AC = (8^2+16^2)^0,5 = (64+256)^0,5 = (1024)^0,5 = 32 см.3) Обнаружьте медианы по выше приведенным формуламАЕ=(2(АВ^2+AC^2)-BC^2)^0,5/2 = (2(8^2+32^2)-16^2)^0,5/2 = (2(64+1024)-256)^0,5/2 = 21,91 см.СF=(2(BC^2+AC^2)-AB^2)^0,5/2 = (2(16^2+32^2)-8^2)^0,5/2 = (2(256+1024)-64)^0,5/2 = 24,97 см.

Обратите внимание! Медиана неизменно разбивает треугольник на два других треугольника, равных по площади.Точка пересечения всех 3 медиан именуется центром тяжести.

Полезный совет Дюже зачастую значение катетов и гипотенуз проще каждого обнаружить по тригонометрическим формулам.

У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при его основании тоже равны. Следственно высоты, проведенные к боковым сторонам, будут равны друг другу. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, будет единовременно медианой и биссектрисой этого треугольника.

Инструкция

1. Пускай высота AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, потому что AE — высота. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE — его катетами.По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Потому что AE единовременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следственно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, потому что AE — биссектриса треугольника. Отсель, AE = AB/cos(BAC/2).

2. Пускай сейчас проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота теснее не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует всеобщая формула.Пускай S — площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, дозволено обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.

3. Из этой формулы видно, что высота, проведенная к стороне с (AB), будет иметь такую же длину, потому что b = c = AB = AC.

В прямоугольном треугольнике дозволено довольно легко обнаружить угол, если знамениты две его стороны. Один из углов равен 90 градусов, два других являются неизменно острыми. Вот эти углы и необходимо будет обнаружить. Для того, дабы обнаружить острый угол в прямоугольном треугольнике, нужно знать значения всех 3 его сторон. В зависимости от того, какие стороны вам вестимы, синусы острых углов дозволено обнаружить, применяя формулы для тригонометрических функций. Для отыскания значения угла по синусу применяются четырехзначные математические таблицы.

Вам понадобится

  • — Теорема Пифагора;
  • — тригонометрическая функция sin;
  • — четырехзначные математические таблицы Брадиса.

Инструкция

1. Используйте следующие обозначения для комфорта составления формул, нужных для расчетов: c – гипотенуза прямоугольного треугольника; a, b — катеты, которые образуют прямой угол; A – острый угол, находящийся наоборот катета b; B — острый угол, находящийся наоборот катета a.

2. Вычислите, чему равна длина незнакомой стороны треугольника. Примените для вычислений теорему Пифагора. Вычислите катет a, если вестимы значения гипотенузы c и катета b. Для этого вычтите из квадрата гипотенузы c квадрат катета b, а после этого вычислите квадратный корень из полученного итога.

3. Вычислите катет b, если вестимы значения гипотенузы c и катета a. Для этого вычтите из квадрата гипотенузы c квадрат катета a, а после этого вычислите квадратный корень из полученного итога.

4. Вычислите значение гипотенузы c, если вестимы два катета. Для этого получите сумму квадратов катетов a и b, а после этого вычислите квадратный корень из полученного итога и при необходимости округлите до четырех знаков позже запятой.

5. Вычислите синус угла A по формуле sinA = a/c. Используйте для вычислений калькулятор. Округлите при необходимости значение синуса угла A до четырех знаков позже запятой.

6. Вычислите синус угла B по формуле sinB = b/c. Используйте для вычислений калькулятор. Округлите при необходимости значение синуса угла B до четырех знаков позже запятой.

7. Обнаружьте углы A и B по значениям их синусов. Используйте для определения значений углов таблицу VIII из четырехзначных математических таблиц Брадиса. Обнаружьте в данной таблице значения синусов. Передвигайтесь от обнаруженного значения налево и из первого столбца «А» возьмите градусы. Передвигайтесь от обнаруженного значения вверх и из верхней строки «А» возьмите минуты. Скажем, если sin(A) = 0,8949, то угол A равен 63 градуса 30 минут.

Для обобщенной оценки длинного ряда значений используются разные вспомогательные способы и величины. Одной из таких величин является медиана. Правда ее дозволено назвать средним значением ряда , но ее толк и способ ее вычисления отличаются от других вариаций на тему среднего значения.

Инструкция

1. Самым распространенным методом оценить среднюю величину в ряду значений является среднее арифметическое. Дабы его вычислить, надобно сумму всех значений ряда поделить на число этих значений. Скажем, если дан ряд 3, 4, 8, 12, 17, то его среднее арифметическое равно (3 + 4 + 8 + 12 + 17)/5 = 44/5 = 8,6.

2. Еще одно среднее, зачастую встречающееся в математических и статистических задачах, именуется средним гармоническим. Среднее гармоническое от чисел a0, a1, a2… an равно n/(1/a0 + 1/a1 + 1/a2… +1/an). Скажем, для того же ряда , что и в предыдущем примере, среднее гармоническое будет равно 5/(1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/17) = 5/(347/408) = 5,87. Среднее гармоническое неизменно поменьше среднего арифметического.

3. Разные средние применяются в различных видах задач. Скажем, если вестимо, что автомобиль 1-й час ехал со скоростью A, а 2-й — со скоростью B, то его средняя скорость за время пути будет равна среднему арифметическому между A и B. Но если вестимо, что автомобиль проехал один километр со скоростью A, а дальнейший — со скоростью B, то, дабы вычислить его среднюю скорость за время пути, необходимо будет взять среднее гармоническое между A и B.

4. Для статистических целей среднее арифметическое представляет комфортную и объективную оценку, но только в тех случаях, когда среди значений ряда нет круто выдающихся. Скажем, для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 среднее арифметическое будет равно 24, 5 — невидимо огромнее всех членов ряда , помимо последнего. Видимо, что такую оценку невозможно считать всецело адекватной.

5. В таких случаях следует вычислить медиану ряда . Это средняя величина, значение которой находится ровно посередине ряда так, что все члены ряда , расположенные до медианы — не огромнее нее, а все, расположенные позже — не поменьше. Финально, для этого необходимо сначала систематизировать члены ряда по возрастанию.

6. Если в ряду a0… an нечетное число значений, то есть n = 2k + 1, то за медиану принимается член ряда с порядковым номером k + 1. Если же число значений четное, то есть n = 2k, то медианой считается среднее арифметическое членов ряда с номерами k и k + 1.Скажем, в теснее рассмотренном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 десять членов. Следственно, его медиана — среднее арифметическое между пятым и шестым членами, то есть (5 + 6)/2 = 5,5. Эта оценка значительно отличнее отражает усредненное значение нормального члена ряда .

Медиана треугольника — это отрезок, проведенный из всякий его вершины к противоположной стороне, при этом он делит ее на части равной длины. Наивысшее число медиан в треугольнике — три, по числу вершин и сторон.

Инструкция

1. Задача 1.В произвольном треугольнике ABD проведена медиана BE. Обнаружьте ее длину, если вестимо, что стороны, соответственно, равны AB = 10 см, BD = 5 см и AD = 8 см.

2. Решение.Примените формулу медианы с выражением через все стороны треугольника. Это простая задача, от того что все длины сторон вестимы:BE = ?((2*AB^2 + 2*BD^2 — AD^2)/4) = ?((200 + 50 — 64)/4) = ?(46,5) ? 6,8 (см).

3. Задача 2.В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и BD равны. Проведена медиана из вершины D на сторону BA, при этом она составляет угол с BA, равный 90°. Обнаружьте длину медианы DH, если вестимо, что BA = 10 см, а угол DBA равен 60°.

4. Решение.Для нахождения медианы определите одну и равных сторон треугольника AD либо BD. Для этого разглядите один из прямоугольных треугольников, представим, BDH. Из определения медианы следует, что BH = BA/2 = 10/2 = 5. Обнаружьте сторону BD по тригонометрической формуле из свойства прямоугольного треугольника — BD = BH/sin(DBH) = 5/sin60° = 5/(?3/2) ? 5,8.

5. Сейчас допустимы два варианта нахождения медианы: по формуле, примененной в первой задаче либо по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BDH: DH^2 = BD^2 — BH^2.DH^2 = (5,8)^2 — 25 ? 8,6 (см).

6. Задача 3.В произвольном треугольнике BDA проведены три медианы. Обнаружьте их длины, если вестимо, что высота DK равна 4 см и делит основание на отрезки длиной BK = 3 и KA = 6.

7. Решение.Для нахождения медиан нужны длины всех сторон. Длину BA дозволено обнаружить из данные: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.Разглядите прямоугольный треугольник BDK. По теореме Пифагора обнаружьте длину гипотенузы BD:BD^2 = BK^2 + DK^2; BD = ?(9 + 16) = ?25 = 5.

8. Подобно обнаружьте гипотенузу прямоугольного треугольника KDA:AD^2 = DK^2 + KA^2; AD = ?(16 + 36) = ?52 ? 7,2.

9. По формуле выражения через стороны обнаружьте медианы:BE^2 = (2*BD^2 + 2*BA^2 — AD^2)/4 = (50 + 162 — 51,8)/4 ? 40, отсель BE ? 6,3 (см).DH^2 = (2*BD^2 + 2*AD^2 — BA^2)/4 = (50 + 103,7 — 81)/4 ? 18,2, отсель DH ? 4,3 (см).AF^2 = (2*AD^2 + 2*BA^2 — BD^2)/4 = (103,7 + 162 — 25)/4 ? 60, отсель AF ? 7,8 (см).

Медиана — геометрическое определение, которое связано с представлением треугольника. Она представляет собой отрезок, соединяющий вершину произвольного треугольника с серединой противоположной стороны. Обнаружить либо вычислить длину медианы дозволено, зная длины сторон произвольного треугольника. Разглядим решение задачи на примере.

Вам понадобится

  • Геометрическая формула для вычисления длины медианы произвольного треугольника ABC:
  • m = ?(2·(b2 + c2) — a2)/2,
  • где m — длина медианы О,
  • а — длина стороны ВС произвольного треугольника(к этой стороне проведена медиана),
  • b — длина стороны АВ треугольника,
  • c — длина сторон АС треугольника.

Инструкция

1. Измерьте с поддержкой линейки длины сторон АВ, АС и ВС данного треугольника. Длины сторон могут быть даны в условиях геометрической задачи. Пускай а=7 см — длина стороны ВС(сторона, к которой проведена медиана О), b=5 см — длина стороны АВ и с=6 см — длина стороны АС. Выходит, по условиям задачи a=7 см, b=5 см, c=6 см.

2. Вычислите длину медианы треугольника ABC по указанной формуле. Подставьте значения длин сторон треугольника ABC в формулу и произведите следующие вычисления. Возведите длины всех сторон треугольника ABC в квадрат:— 5?5=25 см(квадрат длины b стороны АВ), 6?6=36 см(квадрат длины c стороны АС), 7?7=49 см(квадрат длины а стороны ВС).Сложите полученные суммы квадратов длин сторон АВ и АС треугольника ABC (b2+c2):— 25+36=61 .Умножьте полученную сумму квадратов длин сторон b и c на число 2 ((b2+c2)х2) :— 61?2=122.

3. Вычтите из полученного произведения квадрат длины а стороны ВС треугольника ABC((b2+c2)х2)-а2) :— 122-49=73.Извлеките квадратный корень из полученного итога. Поделите полученное число на 2(?(2·(b2 + c2) — a2)/2): ?73/2=4,27 см — желанная длина m медианы O треугольника ABC. Так, применяя указанную геометрическую формулу и зная длины сторон треугольника ABC, вы вычислили длину его медианы.

Видео по теме

Обратите внимание! Медиана треугольника делит его на две равновеликие части. Из двух медиан треугольника большей является медиана, проведенная к меньшей стороне треугольника.В треугольнике существует три медианы. Они неизменно пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка именуется центром тяжести треугольника (либо центроидом). Треугольник разделяется тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. В равнобедренном треугольнике медиана, поведенная к его основанию, является единовременно биссектрисой и высотой.

Треугольник – одна из простейших классических фигур в математике, частный случай многоугольника с числом сторон и вершин, равном трем. Соответственно, высот и медиан у треугольника тоже по три, а обнаружить их дозволено по знаменитым формулам, исходя из исходных данных определенной задачи.

Инструкция

1. Высотой треугольника именуется перпендикулярный отрезок, проведенный из какой-нибудь вершины на противоположную ей сторону (основание). Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий одну из вершин с серединой противоположной стороны. Высота и медиана из одной и той же вершины могут совпадать в случае если треугольник равнобедренный, а вершина соединяет его равные стороны.

2. Задача 1Найти высоту BH и медиану BM произвольного треугольника ABC, если знаменито, что отрезок BH делит основание AC на отрезки с длинами 4 и 5 см, а угол ACB равен 30°.

3. РешениеФормула медианы в произвольном треугольнике представляет собой выражение ее длины через длины сторон фигуры. Из исходных данных вы знаете только одну сторону AC, которая равна сумме отрезков AH и HC, т.е. 4+5 = 9. Следственно, уместно будет вначале обнаружить высоту , после этого через нее выразить недостающие длины сторон AB и BC, а потом вычислить медиану .

4. Разглядите треугольник BHC — он прямоугольный, исходя из определения высоты. Вам вестим угол и длина одной стороны, этого довольно для того, дабы обнаружить сторону BH через тригонометрическую формулу, а именно:BH = HC•tg BCH = 5/?3 ? 2,89.

5. Вы получили высоту треугольника ABC. По тому же тезису определите длину стороны BC:BC = HC/cos BCH = 10/?3 = 5,77.Данный итог дозволено проверить по теореме Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:AC? = AB? + BC? ? BC = ?(25/3 + 25) = 10/?3.

6. Обнаружьте оставшуюся третью сторону AB через рассмотрение прямоугольного треугольника ABH. По теореме Пифагора AB = ?(25/3 + 16) = ?(73/3) ? 4,93.

7. Запишите формулу для определения медианы треугольника:BM = 1/2•?(2•(AB? + BC?) – AC?) = 1/2•?(2•(24,3 + 33,29) – 81) ? 2,92.Оформите результат задачи: высота треугольника BH = 2,89; медиана BM = 2,92.

Видео по теме

Высотами в треугольнике называют три отрезка прямых, весь из которых перпендикулярен одной из сторон и соединяет ее с противолежащей вершиной. Как минимум две стороны и два угла в равнобедренном треугольнике имеют идентичные величины, следственно и длины 2-х высот обязаны быть равны. Это обстоятельство гораздо упрощает вычисление длин высот фигуры.

Инструкция

1. Высоту (Hc), проведенную к основанию равнобедренного треугольника, дозволено рассчитать, зная длины этого основания (c) и боковой стороны (a). Для этого дозволено применять теорему Пифагора, потому что высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Высота и половина основания в нем являются катетами, следственно для решения задачи извлеките корень из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны и четвертью квадрата длины основания: Hс = ?(a?-?*c?).

2. Эту же высоту (Hc) дозволено вычислить и по длине всякий из сторон, если в условиях приведена величина правда бы одного угла. Если это угол при основании треугольника (?) а знаменитая длина определяет величину боковой стороны (a), для приобретения итоге перемножьте длину вестимой стороны и синус вестимого угла: Hс = a*sin(?). Эта формула вытекает из теоремы синусов.

3. Если вестима длина основания (с) и величина прилегающего к нему угла (?), для вычисления высоты (Hc), половину длины основания умножьте на синус вестимого угла и поделите на синус разницы между 90° и величиной того же угла: Hс = ?*c*sin(?)/sin(90°-?).

4. При знаменитых размерах основания (с) и противолежащего ему угла (?) для вычисления высоты (Hc) умножайте половину длины знаменитой стороны на синус разницы между 90° и половиной вестимого угла, а итог разделяете на синус половины того же угла: Hс = ?*c*sin(90°-?/2)/sin(?/2). Эта формула, как и две предыдущие, вытекает из теоремы синусов в сочетании с теоремой о сумме углов в треугольнике .

5. Длину высоты, проведенной к одной из боковых сторон (Ha) дозволено вычислить, скажем, зная длину этой стороны (a) и площадь равнобедренного треугольника (S). Дабы это сделать, обнаружьте удвоенную величину соотношения между площадью и длиной знаменитой стороны: Ha = 2*S/a.

Равнобедренным, либо равнобоким называют треугольник, у которого длины 2-х сторон идентичны. При необходимости вычисления длины одной из сторон такой фигуры дозволено применять умение величин углов в ее вершинах в сочетании с длиной одной из сторон либо радиусом описанной окружности. Эти параметры многоугольника связаны между собой теоремами синусов, косинусов и некоторыми другими непрерывными соотношениями.

Инструкция

1. Для вычисления длины боковой стороны равнобедренного треугольника (b) по вестимой из условий длине основания (a) и величине прилегающего к нему угла (?) используйте теорему косинусов. Из нее вытекает, что вам следует поделить длину знаменитой стороны на удвоенный косинус приведенного в условиях угла: b = a/(2*cos(?)).

2. Ту же теорему применяйте и для обратной операции — вычисления длины основания (a) по знаменитой длине боковой стороны (b) и величине угла (?) между этими двумя сторонами. В этом случае теорема дозволяет получить равенство, правая часть которого содержит удвоенное произведение длины вестимой стороны на косинус угла: a = 2*b*cos(?).

3. Если помимо длин боковых сторон (b) в условиях приведена величина угла между ними (?), для расчета длины основания (a) воспользуйтесь теоремой синусов. Из нее вытекает формула, согласно которой следует удвоенную длину боковой стороны умножить на синус половины знаменитого угла: a = 2*b*sin(? /2).

4. Теорему синусов дозволено применять и для нахождения длины боковой стороны (b) равнобедренного треугольника, если знаменита длина основания (a) и величина противолежащего ему угла (?). В этом случае удвойте синус половины знаменитого угла и поделите на получившееся значение длину основания: b = a/(2*sin(?/2)).

5. Если около равнобедренного треугольника описана окружность, радиус которой (R) знаменит, для вычисления длин сторон необходимо знать величину угла в одной из вершин фигуры. Если в условиях приведена информация об угле между боковыми сторонами (?), вычисляйте длину основания (a) многоугольника удвоением произведения радиуса на значение синуса этого угла: a = 2*R*sin(?). Если же дана величина угла при основании (?), для нахождения длины боковой стороны (b) легко замените угол в этой формуле: b = 2*R*sin(?).

Видео по теме

jprosto.ru

Как найти медиану равнобедренного треугольника

Математические задачи 6 класс с решением и ответами. Задача 1. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое? (Каждая цифра должна быть использована ровно один раз). Решение: Можно. 532 делится на 14, а 215 делится.

Как найти медиану в равнобедренном треугольники при данном основании и боковых сторонах? пожаааалуйста, напишите.

Ответы и объяснения

1) Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Используя 2 вышеуказанных правила получаем, что медиана делит основание на 2 равновеликих отрезка. Исходя из этого, знаем значение боковой стороны (гипотенузы) и найденного отрезка (катета). А с учетом того, что медиана будет являться высотой (согласно 2-му правилу), то медиану сможем найти применив теорему Пифагора)))

Как найти медиану равнобедренного треугольника

Как найти медиану в равнобедренном треугольники при данном основании и боковых сторонах? пожаааалуйста, напишите.

Ответы и объяснения

1) Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Используя 2 вышеуказанных правила получаем, что медиана делит основание на 2 равновеликих отрезка. Исходя из этого, знаем значение боковой стороны (гипотенузы) и найденного отрезка (катета). А с учетом того, что медиана будет являться высотой (согласно 2-му правилу), то медиану сможем найти применив теорему Пифагора)))

Как найти медиану равнобедренного треугольника

Совет 1: Как найти медиану равнобедренного треугольника

    Как найти медиану равнобедренного треугольника Как найти высоту и медиану в треугольнике Как вывести формулу медианы треугольника
    Равнобедренные и равносторонние треугольники Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Совет 2: Как найти медиану

    Знание длин сторон треугольника.

1) любая из трех медиан разделяет исходный треугольник на два равных по площади треугольника;

2) Все медианы треугольника обладают единой точкой пересечения. Эта точка называется центром треугольника;

3) Медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называются геометрические фигуры с равными площадями.

Биссектрисой называется луч, который исходит из любой вершины треугольника и делит образованный ею угол пополам.

Под высотой треугольника подразумевается отрезок, который проведен из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Совет 3: Как найти сторону равнобедренного треугольника

    Знать, по возможности, углы треугольника и хотя бы одну из его сторон.

Из этой формулы вытекает следующее равенство:a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ

Отсюда существует следствие:a = b/2cosα;

Также из теоремы косинусов существует еще 1 следствие:

    рассчитать стороны треугольника

Совет 4: Как найти медиану треугольника

Mc^2 = (2a^2 + 2b^2 — c^2)/4,

Mc — медиана к стороне с;

D1, d2 — диагонали получившегося параллелограмма;

Совет 5: Как найти медиану прямоугольного треугольника

    учебник по геометрии.

1) Найдите значение гипотенузы. По теореме Пифагора AC^2 = AB^2+BC^2. Следовательно AC = (AB^2+BC^2)^0,5 = (3^2+4^2)^0,5 = 25^0,5 = 5 см

2) Найдите длину медианы по формуле: BD = AC/2. Тогда BD = 5 см.

СF=(2(BC^2+AC^2)-AB^2)^0,5/2 Пример: У Треугольника АВС, угол АВС является прямым. Длина катета АВ = 8 см, угол BCA = 30 градусов. Найдите длины медиан, опущенных из острых углов. Решение:

1) Найдите длину гипотенузы АС, ее можно получить из соотношения sin(BCA)=AB/AC. Отсюда AC=AB/sin(BCA). AC=8/sin(30)=8/0,5=16 см.

2) Найдите длину катета АС. Проще всего ее можно найти по теореме Пифагора: AC = (AB^2+BC^2)^0,5, AC = (8^2+16^2)^0,5 = (64+256)^0,5 = (1024)^0,5 = 32 см.

3) Найдите медианы по выше приведенным формулам

АЕ=(2(АВ^2+AC^2)-BC^2)^0,5/2 = (2(8^2+32^2)-16^2)^0,5/2 = (2(64+1024)-256)^0,5/2 = 21,91 см.

СF=(2(BC^2+AC^2)-AB^2)^0,5/2 = (2(16^2+32^2)-8^2)^0,5/2 = (2(256+1024)-64)^0,5/2 = 24,97 см.

Точка пересечения всех трех медиан называется центром тяжести.

    что такое медиана прямоугольника

Совет 6: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике

По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE одновременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).

Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE — биссектриса треугольника. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).

Пусть S — площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, можно обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.

    высоты равнобедренного треугольника

Совет 7: Как найти угол у треугольника, если известны две стороны?

    — Теорема Пифагора; — тригонометрическая функция sin; — четырехзначные математические таблицы Брадиса.
    Решение прямоугольных треугольников

Совет 8: Как найти медиану ряда

Например, в уже рассмотренном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 десять членов. Следовательно, его медиана — среднее арифметическое между пятым и шестым членами, то есть (5 + 6)/2 = 5,5. Эта оценка гораздо лучше отражает усредненное значение типичного члена Ряда.

    Задачи по статистике с решениями: Мода и медиана

Совет 9: Как найти длину медианы в треугольнике

В произвольном треугольнике ABD проведена медиана BE. Найдите ее длину, если известно, что стороны, соответственно, равны AB = 10 см, BD = 5 см и AD = 8 см.

Примените формулу медианы с выражением через все стороны треугольника. Это простая задача, поскольку все длины сторон известны:

BE = √((2*AB^2 + 2*BD^2 — AD^2)/4) = √((200 + 50 — 64)/4) = √(46,5) ≈ 6,8 (см).

В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и BD равны. Проведена медиана из вершины D на сторону BA, при этом она составляет угол с BA, равный 90°. Найдите длину медианы DH, если известно, что BA = 10 см, а угол DBA равен 60°.

Для нахождения медианы определите одну и равных сторон треугольника AD или BD. Для этого рассмотрите один из прямоугольных треугольников, предположим, BDH. Из определения медианы следует, что BH = BA/2 = 10/2 = 5.

Найдите сторону BD по тригонометрической формуле из свойства прямоугольного треугольника — BD = BH/sin(DBH) = 5/sin60° = 5/(√3/2) ≈ 5,8.

DH^2 = (5,8)^2 — 25 ≈ 8,6 (см).

В произвольном треугольнике BDA проведены три медианы. Найдите их длины, если известно, что высота DK равна 4 см и делит основание на отрезки длиной BK = 3 и KA = 6.

Для нахождения медиан необходимы длины всех сторон. Длину BA можно найти из условия: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.

Рассмотрите прямоугольный треугольник BDK. По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы BD:

BD^2 = BK^2 + DK^2; BD = √(9 + 16) = √25 = 5.

AD^2 = DK^2 + KA^2; AD = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,2.

BE^2 = (2*BD^2 + 2*BA^2 — AD^2)/4 = (50 + 162 — 51,8)/4 ≈ 40, отсюда BE ≈ 6,3 (см).

DH^2 = (2*BD^2 + 2*AD^2 — BA^2)/4 = (50 + 103,7 — 81)/4 ≈ 18,2, отсюда DH ≈ 4,3 (см).

AF^2 = (2*AD^2 + 2*BA^2 — BD^2)/4 = (103,7 + 162 — 25)/4 ≈ 60, отсюда AF ≈ 7,8 (см).

Совет 10: Как вычислить медиану в треугольнике

    Геометрическая формула для вычисления длины медианы произвольного треугольника ABC: m = √(2·(b2 + c2) — a2)/2, где m — длина медианы О, а — длина стороны ВС произвольного треугольника(к этой стороне проведена медиана), b — длина стороны АВ треугольника, c — длина сторон АС треугольника.

— 5×5=25 см(квадрат длины b стороны АВ), 6×6=36 см(квадрат длины c стороны АС), 7×7=49 см(квадрат длины а стороны ВС).

√73/2=4,27 см — искомая длина m медианы O треугольника ABC. Так, используя указанную геометрическую формулу и зная длины сторон треугольника ABC, вы вычислили длину его медианы.

    Формулы онлайн

Совет 11: Как найти высоту и медиану в треугольнике

Совет 12: Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике

Совет 13: Как вычислить сторону равнобедренного треугольника

как найти медиану равнобедренного треугольника

poiskvstavropole.ru

Медиана треугольника, формулы и примеры

Определение и формулы медианы треугольника

Медиана треугольника

Для медиан треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника с одинаковой площадью
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.
  • В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Формула для вычисления медианы

    \[m_{c} =\frac{1}{2} \sqrt{2a^{2} +2b^{2} -c^{2} } ,\]

где c – сторона треугольника, к которой проводится медиана, a,\ b – две другие стороны рассматриваемого треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Все формулы медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

 

Длина медианы прямоугольного треугольника

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы

 

 

Формула длины через катеты, (M):

Формула медианы через катеты

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Формула медианы через катет и острый угол

 

 

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 08 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017

www-formula.ru

Формула равностороннего и равнобедренного треугольника.

Определение 7. Равнобедренным называется всякий треугольник, две стороны которого равны. Две равные стороны называют боковыми, третью – основанием. Определение 8.Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним. Он является частным видом равнобедренного треугольника. Теорема 18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания. рисунок ко всем доказательствам Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника. Углы А и С равны, также высота делит основание пополам и будет осью симметрии всей рассматриваемой фигуры. Также эту теорему можно сформулировать так: Теорема 18.1. Медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, высотой и осью симметрии основания. Теорема 18.2. Биссектриса равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является высотой, медианой и осью симметрии основания. Теорема 18.3. Ось симметрии равнобедренного треугольника одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и высотой. Доказательство этих следствий тоже следует из равенства треугольников, на которые делится равнобедренный треугольник. Теорема 19. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника, значит соответственные углы равны, т. е. РА=РС Признаки равнобедренного треугольника идут из теоремы 1 и его следствий и теоремы 2. Теорема 20. Если две из указанных четырех линий (высота, медиана, биссектриса, ось симметрии) совпадут, то треугольник будет равнобедренным (а значит, совпадут и все четыре линии) . Теорема 21. Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный. Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте. Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°. Теорема 22. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).

а какая именно формула?

набираю баллы

touch.otvet.mail.ru

Как найти длину медианы в равнобедренном треугольнике

Доброй ночи!Первым делом, нам нужно запомнить, что независимо от того, какой мы будем рассматривать треугольник, определение для медианы останется неизменным. Меняться будут только свойства медиан, и то не очень. Но давайте вспомним, какой треугольник равнобедренный. У этого треугольника две стороны всегда будут равны. Это немаловажное определение.Теперь нужно обсудить конкретные свойства медианы в равнобедренном треугольнике.В данном виде треугольников медиана, опущенная на основание, является одновременно высотой и биссектрисой, а также обладает их же свойствами.Для медиан равнобедренного треугольника будут выполняться следующие утверждения:

1. Медианы равнобедренного треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, начиная считать от  вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.2. Медиана также разбивает равнобедренный треугольник на два треугольника, у которых всегда будет одинаковая площадь.Весь равнобедренный треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих (т.е. у которых одинаковые площади) треугольников.А теперь перейдём к вопросу, как найти длину медианы в равнобедренном треугольнике. Исходя из Вашей задачи.Рассмотрим равнобедренный треугольник \Delta ABC, в котором

    \[AB = BC = 10\]

см, но на самом деле нам будет недостаточно данного условия. Так как третюю сторону мы никак не найдём. Давайте введём, что нам известен

    \[\angle A = \angle C = 75^{o}\]

При таком раскладе мы с лёгкостью можем найти \angle B:

    \[\angle B = 180 - 75 - 75 = 30\]

AL — медиана нашего треугольника, которая проведена к боковой стороне BC и делит эту сторону на два равных отрезка:

    \[BL = LC = 5\]

Теперь мы рассмотрим с Вами треугольник \Delta ABL. В котором, при помощи теоремы косинусов, мы легко сможем найти медиану AL:

    \[AL^{2} = AB^{2} + BL^{2} - 2 * AB * BL * \cos B\]

Подставим значения и получим:

    \[AL^{2} = 100+ 25- 2 * 10 * 3 * \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[AL^{2} = 125 - 30\sqrt{3}\]

    \[AL^{2} = 5 (25 - 6\sqrt{3})\]

    \[AL = \sqrt{3 (15 - 6\sqrt{3})}\]

Ответ: AL = \sqrt{5 (25 - 6\sqrt{3})} см

ru.solverbook.com