Дискриминант квадратного уравнения. Дискриминант д1


Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 - 4ac

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле, можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата либо искать корни по формуле, либо сделать вывод что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 - 4x + 2 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 3, b = -4, c = 2

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = 16 - 24 = -8, D < 0

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x2 - 6x + 9 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -6, c = 9

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ: 3.

Пример 3.

x2 - 4x - 5 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -5

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,   x2 = (4 - 6) : 2 = -1

Ответ: 5, -1.

naobumium.info

Дискриминант на 4 | Алгебра

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac\]

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

        \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a}\]

  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

        \[x = \frac{{ - b}}{{2a}}\]

  • Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

    \[1)5{x^2} + 16x + 3 = 0\]

    \[a = 5;b = 16;c = 3\]

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49\]

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}\]

    \[{x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;\]

    \[{x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3\]

Ответ: -0,2; -3.

    \[2)3{x^2} - 28x + 9 = 0\]

    \[a = 3;b = - 28;c = 9\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 = \]

    \[ = 196 - 27 = 169\]

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} = \]

    \[ = \frac{{14 \pm 13}}{3}\]

    \[{x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;\]

    \[{x_2} = \frac{{14 - 13}}{3} = \frac{1}{3}\]

Ответ: 9; 1/3.

    \[3)9{x^2} + 42x + 49 = 0\]

    \[a = 9;b = 42;c = 49\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 = \]

    \[ = 441 - 441 = 0\]

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}\]

Ответ: -2 1/3.

    \[4){x^2} - 20x + 136 = 0\]

    \[a = 1;b = - 20;c = 136\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 = \]

    \[ = 100 - 136 = - 36\]

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

    \[5)2{x^2} + 8x + 5 = 0\]

    \[a = 2;b = 8;c = 5\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}\]

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

    \[\frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}.\]

 

www.algebraclass.ru

Внеклассный урок - Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.
  

Формула №1:

         -b ± √Dx =  ————,  где D = b2 – 4ac.             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант - это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         -b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1x =  ———— = ———— = ————             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1x1 = ——— = —— = — = – —           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1x2 = ——— = —— = — = – — .           24           24       3          3

 

                        1                   1Ответ: x1 = – —,    x2 = – —                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      -k ± √D1x = ————,   где D1 = k2 – ac             a

Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2 – ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      -k ± √D1       - (-8) ± √49      8 ± 7x = ———— =  ————— = ———             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15x1 = ——— =  — = 3            5            5

 

         8 – 7         1x2 = ——— =  — = 0,2             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

raal100.narod.ru

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x - переменная,

a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 

Формула дискриминанта: .

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2.

tehtab.ru

Дискриминант. Теорема Виета

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет "высшее образование" и все снова ищут - "Как решить квадратное уравнение?", "Как найти корни уравнения?", "Как найти дискриминант?" и ...

Формула дискриминанта

Дискриминант D квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0 равен D=b^2–4*a*c. Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) : D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;D=0 - уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формулеЕсли коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его частьВ таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней - это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1) Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множителиКак видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла - "Зачем школьникам квадратное уравнение?", "Какой физический смысл дискриминанта?".

Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде Так вот физический смысл квадратного уравнения - это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox. Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формулеГрафик функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах "+, -" или "-, +". Неполное квадратное уравнение видаодним из корней всегда имеет точку x=0. В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

yukhym.com

Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

                 ,

гдеx - переменная,a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта: .
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :
  • D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2

www.dpva.ru

Дискриминант - это... Что такое Дискриминант?

Дискримина́нт многочлена , есть произведение

, где  — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • , где  — результант многочлена и его производной .
    • В частности, дискриминант многочлена
равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:

Примеры

  • В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[1].

Примечания

dal.academic.ru