Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула. Боковая поверхность параллелепипеда формула


Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

Параллелепипед — объемная фигура, одна из разновидностей призм, в основании которой лежит четырехугольник — параллелограмм, а все остальные грани также образованы данным видом четырехугольников. Площадь боковой поверхности параллелепипеда обнаружить дюже легко.

Инструкция

1. Стоит для начала разобраться, что из себя представляет боковая поверхность параллелепипеда. Она представляет из себя сумму площадей четырех параллелограммов, находящихся по бокам данной объемной фигуры. Площадь всякого параллелограмма находится по формуле:S = a*h, где a — одна из сторон данного параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне.Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника.Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

2. В том случае, если дан прямой параллелепипед, у которого знамениты периметр основания P, высота его h, то обнаружить площадь его боковой поверхности дозволено обнаружить так:S = P*h.Если дан прямоугольный параллелепипед (у которого все грани — прямоугольники), у которого вестимы длины сторон основания (a и b), a c — его боковое ребро, то боковая поверхность этого параллелепипеда вычисляется по такой формуле:S = 2*c*(a+b).

3. Для большей ясности дозволено разглядеть примеры:Пример 1. Дан прямой параллелепипед с периметром основания 24 см, высотой 8 см. Исходя из этих данных площадь боковой поверхности его будет вычисляться так:S = 24*8 = 192 см?Пример 2. Пускай в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, дозволено вычислить и боковую поверхность:S = 2*9*(4+9) = 234 см?

Параллелепипед – фигуры объемная, характеризующаяся наличием граней и ребер. Вся боковая грань образуется двумя параллельными боковыми ребрами и соответствующими друг другу сторонами обоих оснований. Дабы обнаружить боковую поверхность параллелепипеда , надобно сложить площади всех его вертикальных либо наклонных параллелограммов.

Инструкция

1. Параллелепипед – пространственная геометрическая фигура, имеющая три измерения: длину, высоту и ширину. В связи с этим он имеет две горизонтальные грани, называемые основаниями, а также четыре боковые. Все они имеют форму параллелограмма, но бывают и частные случаи, которые упрощают не только графическое изображение задачи, но и сами расчеты.

2. Основными числовыми колляциями параллелепипеда являются площадь поверхности и объем. Различают полную и боковую поверхность фигуры, которые получаются суммированием площадей соответствующих граней, в первом случае – всех шести, во втором – только боковых.

3. Дабы обнаружить боковую поверхность параллелепипеда , сложите площади четырех граней. Исходя из свойства фигуры, согласно которому противолежащие грани параллельны и равны, запишите:S = 2•Sб1 + 2•Sб2.

4. Разглядите для начала всеобщий случай, когда фигура наклонная: основания лежат в параллельных плоскостях, но смещены касательно друг друга:Sб1 = a•h; Sб2 = b•h, где а и b – основания всего бокового параллелограмма, h – высота параллелепипеда .S = (2•a + 2•b)•h.

5. Посмотрите наблюдательно на выражение, стоящее в скобках. Величины a и b дозволено представить не только, как основания боковых ребер, но и как стороны основания параллелепипеда , тогда это выражение есть не что иное, как его периметр:S = P•h.

6. Наклонный параллелепипед превращается в прямой, если угол между основанием и боковым ребром становится прямым. Тогда высота параллелепипеда равна длине боковой грани:S = P•с.

7. Прямоугольный параллелепипед – знаменитая форма исполнения многих конструкции: домов, предметов мебели, коробок, моделей бытовой техники и пр. Это связано с простотой их возведения/создания, от того что все углы составляют 90°. Боковая поверхность такой фигуры аналогична такой же числовой характеристике прямого, отличие между ними проявляется только при расчете полной поверхности.

8. Куб – параллелепипед, у которого все измерения равны:S = 4•Sб = 4•a?.

Видео по теме

jprosto.ru

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что прямая ОК перпендикулярна АВ и АК=2 см, ВК=8 см. Найдите диагонали ромба. Решение. При решении задачи использовали следующие утверждения: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся.

Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда

Параллелепипед — самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

    Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны. Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части. Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам. Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой — сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

А из-за того, что его основания — такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани — это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 — основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а 2 = 7 2 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см 2 ).

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

    разделить все неравенство на 2; потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа — деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»; затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

С = (S/2 — а 2 ) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное — «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота — нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма — это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они — прямоугольники. Поэтому их площади — это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

poiskvstavropole.ru

A, b, c,- стороны параллелепипеда Формула площади поверхности параллелепипеда, S

Построение параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

a, b, c,- стороны параллелепипедапрямоугольный параллелепипедФормула площади поверхности параллелепипеда, (S):

        формула площади поверхности параллелепипеда

Сумма длин всех рёбер параллелепипеда ( L):

L = 4(a + b + c)

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. Поверхность куба составляет 6 равных квадратов.         Если длину ребра куба обозначить буквой n, то площадь одной грани S = n2

Величина объем показывает, какую часть пространства занимает объект. В быту объем чаще всего используется для измерения жидкостей, и самая распространенная единица измерения объема является литр = 1дм3.         Так же для измерения объема используются м3, мм3, см3, км3.

Объем куба : V = a3, где а - ребро куба

Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а.

Объем куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 100 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л. Таким же образом находим, что

1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3; 1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. форзац).

Площадь прямоугольника: S = a b

Периметр прямоугольника: Р = 2(а + b)

Квадрат - это прямоугольник, у которого длина и ширина равны.

Площадь квадрата: S = a∙a = a2

Периметр квадрата: Р = а + а + а + а = 4а

Перевод единиц измерения объема
Перевести из: Перевести в:
м3 дм3 = л см3 мм3
1 м3 это: 1 1000 1000000 1000000000
1 дм3 = л это: 0,001 1 1000 1000000
1 см3 это: 0,000001 0,001 1 1000
1 мм3 это: 0,000000001 0,000001 10-3 1
Перевод взаимный метрических единиц измерения площади: см2, дм2, м2, ар (сотка), гектар (га), км2 .
Перевести из: Перевести в:
см2 дм2 м2 аров(соток) га(гектаров) 1 км2 это:
1 см2 это: 1 0,01 0,0001 0,000001 0,00000001 0,0000000001
1 дм2 это: 100 1 0,01 0,0001 0,000001 0,00000001
1 м2 это: 10000 100 1 0,01 0,0001 0,000001
1 ар это: (=1 сотка это:) 1000000 10000 100 1 0,01 0,0001
1 га это: 100000000 1000000 10000 100 1 0,01
1 км2 это: 10000000000 100000000 1000000 10000 100 1

ohimii.ru

Формулы площади поверхности геометрических фигур.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Площадь куба

Куб

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба

где

S

- площадь куба,

a

- длина грани куба.

Площадь прямоугольного параллелепипеда

прямоугольного параллелепипед

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

S = 2(

a · b

+

a · h

+

b · h

) где

S

- площадь прямоугольного параллелепипеда,

a

- длина,

b

- ширина,

h

- высота.

Площадь цилиндра

цилиндр

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S = 2

π R h

+ 2

π R

2 = 2

π R

(

R

+

h

) где

S

- площадь,

R

- радиус цилиндра,

h

- высота цилиндра,

π = 3.141592

.

Площадь конуса

конус

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число

π

.

Формула площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса:

S =

π R

2 +

π R l

=

π R

(

R

+

l

) где

S

- площадь,

R

- радиус основания конуса,

l

- образующая конуса,

π = 3.141592

.

Площадь шара

шар

Формулы площади шара

  • Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число

    π

    .
  • Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число

    π

    .
где

S

- площадь шара,

R

- радиус шара,

D

- диаметр шара,

π = 3.141592

.

Добавить комментарий

o-math.com

основные формулы и примеры задач :: SYL.ru

Часто ученики возмущенно спрашивают: «Как мне в жизни это пригодится?». На любую тему каждого предмета. Не становится исключением и тема про объем параллелепипеда. И вот здесь как раз можно сказать: «Пригодится».

Как, например, узнать, поместится ли в почтовую коробку посылка? Конечно, можно методом проб и ошибок выбрать подходящую. А если такой возможности нет? Тогда на выручку придут вычисления. Зная вместимость коробки, можно рассчитать объем посылки (хотя бы приблизительно) и ответить на поставленный вопрос.

Параллелепипед и его виды

Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:

  • призма с основанием в виде параллелограмма;
  • многогранник, каждая грань которого - параллелограмм.

Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде, у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым. А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.

Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.

О введенных обозначениях

В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.

ВеличинаЕе обозначение
длины ребер основанияа, в
длина бокового ребрас
высотан
площадь основания
площадь боковой поверхности
площадь всей поверхностиSп
периметр основанияРо
объемV

Формулы для наклонного параллелепипеда

Первая и вторая для площадей:

Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:

Так как основание - параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда

Аналогично первому пункту - две формулы для площадей:

И еще одна для объема:

Первая задача

Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см - и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.

Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.

Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».

Это легко сосчитать: а = 18 * ½ = 9 (см).

Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.

с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную - «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:

х = √(182 - (9√2)2) = 9√2 (см).

Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:

в = √((9√2)2 - 92 = 9 (см).

Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см3).

Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см3.

Вторая задача

Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.

Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.

Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.

Sо = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см2).

Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.

н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Теперь все значения известны и можно вычислить объем:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см3).

Ответ: объем равен 18 √2 см3.

Третья задача

Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.

Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.

Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов:

d2 = а2 + в2 - 2ав cos 120º,

х2 = а2 + в2 - 2ав cos 60º.

Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:

d2 = 22 + 32 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

х2 = а2 + в2 - 2ав cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:

н2 = d2 - х2 = 19 - 7 = 12.

Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).

Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.

Sо = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см2).

Объединив все в формулу объема, получаем:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (см3).

Ответ: V = 18 см3.

Четвертая задача

Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.

Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.

Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.

Sо = 52 = 25 (см2).

Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.

Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота - она же и медиана). А диагональ основания найти просто:

d = √(2 * 52) = 5√2 (см).

Высоту нужно будет сосчитать как разность второй степени ребра и квадрата половины диагонали и не забыть потом извлечь квадратный корень:

н = √ (52 - (5/2 * √2)2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).

Осталось сосчитать объем:

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см3).

Ответ: 62,5 √2 (см3).

www.syl.ru

Вычисляем площадь параллелепипеда

Из множества геометрических фигур одной из самых простых можно назвать параллелепипед. Он имеет форму призмы, в основании которой расположен параллелограмм. Не составляет труда подсчитать площадь параллелепипеда, поскольку формула очень проста.

площадь параллелепипедаПризму составляют грани, вершины и рёбра. Распределение этих составляющих элементов выполнено в том минимальном количестве, которое необходимо для образования этой геометрической формы. Параллелепипед заключает в себе 6 граней, которые соединяются посредством 8-ми вершин и 12-ти рёбер. Причём противоположные стороны параллелепипеда всегда будут равны между собой. Поэтому, чтобы узнать площадь параллелепипеда, достаточно определить размеры трёх его граней.

Параллелепипед (в переводе с греческого языка термин означает «параллельные грани») обладает некоторыми свойствами, которые следует упомянуть. Во-первых, симметричность фигуры подтверждается только в середине каждой своей диагонали. Во-вторых, проведя между любыми из противоположных вершин диагональ, можно обнаружить, что все вершины имеют единую точку пересечения. Также стоит отметить то свойство, что противоположные грани всегда равны и будут обязательно параллельны между собой.

В природе различают такие разновидности параллелепипедов:

  • прямоугольный - состоит из граней прямоугольной формы;

  • прямой - имеет только боковые грани прямоугольные;

  • наклонный параллелепипед имеет в составе боковые грани, которые поставлены неперпендикулярно основаниям;

  • куб - состоит из граней квадратной формы.

Попробуем найти площадь параллелепипеда на примере прямоугольного типа этой фигуры. Как нам уже известно, все его грани прямоугольные. И поскольку количество этих элементов сводится к шести, то, узнав площадь каждой грани, нужно суммировать получившиеся результаты в одно число. А найти площадь каждой из них не составит труда. Для этого необходимо умножить две стороны прямоугольника.площадь прямоугольного параллелепипеда

Используется математическая формула, чтобы определить площадь прямоугольного параллелепипеда. Она состоит из знаковых символов, обозначающих грани, площадь, и выглядит так: S=2(ab+bc+ac), где S – площадь фигуры, a, b — стороны основания, c — боковое ребро.

Приведём примерное вычисление. Допустим, a = 20 см, b = 16 см, c = 10 см. Теперь нужно перемножить числа в соответствии с требованиями формулы: 20*16+16*10+20*10 и получаем число 680 см2. Но это будет лишь половина фигуры, так как мы узнали и суммировали площади трёх граней. Поскольку каждая грань имеет своего «двойника», нужно удвоить результирующее значение, и получаем площадь параллелепипеда, равную 1360 см2.

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, применяют формулу S=2c(a+b). Площадь основания параллелепипеда можно узнать, умножая длины сторон основания друг на друга.площадь основания параллелепипеда

В повседневном быту параллелепипеды можно встретить часто. О их существовании нам напоминает форма кирпича, деревянного ящика письменного стола, обычного спичечного коробка. Примеров каждый сможет найти в изобилии вокруг нас. В школьных программах по геометрии на изучение параллелепипеда отведено несколько уроков. Первые из них демонстрируют модели прямоугольного параллелепипеда. Затем ученикам показывают, как вписывать в него шар или пирамиду, другие фигуры, находить площадь параллелепипеда. Одним словом, это простейшая трёхмерная фигура.

fb.ru

2.3.1 Площади боковой и полной поверхности параллелепипеда. Виды многогранников

Похожие главы из других работ:

Виды многогранников

2.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь Sполн...

Виды многогранников

2.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней. Тогда, Sполн. = Sбок + Sосн. Многоугольник...

Виды поверхностей

ПОВЕРХНОСТИ. ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии...

Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Поверхность вращения наименьшей площади

Если две точки А и В (см. рисунок) связаны кривой y = f(x) и вся эта фигура вращается около оси x, то кривая образует при этом поверхность вращения. Площадь этой поверхности зависит от формы кривой, т. е. от формы функции f(x). Существует кривая...

Кривые Евклидова пространства

2.4 Полная и средняя кривизны поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности

Рассмотрим регулярную (u,v) в окрестности точки Р. . Отсюда получаем . Дифференцируем это неравенство по x и по y Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е...

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

2.4 Площади фигур

Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: · Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ?на синус угла между ними: Площадь треугольника ь Площадь треугольника...

Площади многоугольников

1.2.1 Понятие о площади. Свойства площади

Обычно говорят, что площадь фигуры есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Однако это не определение, а только описание того, что такое площадь. Легко понять...

Позиционные игры

3. Позиционные антагонистические игры с полной информацией

...

Позиционные игры

3.1 Понятие позиционной игры с полной информацией

Определение 1. Позиционная игра называется игрой с полной информацией, если в каждой позиции любой ее партии игрок, делающий ход, знает, какие альтернативы были выбраны на предыдущих ходах...

Призма и параллелепипед

Понятие параллелепипеда

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 - прямой параллелепипед. Грани параллелепипеда...

Призма и параллелепипед

Свойства параллелепипеда

Теорема: У параллелепипеда: 1) противолежащие грани равны и параллельны; 2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Доказательство: 1) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда...

Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ? 0, где х [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у = f(х) непрерывны на этом отрезке. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8)...

Теория вероятностей на уроках математики

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

п.1. Формула полной вероятности. Следствием обеих основных теорем -теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности...

Теория поверхностей в задачах и примерах

4.3 Вычисление площади поверхности

Определение длины дуги кривой линии сводится к вычислению суммы длин прямоугольных отрезков с последующим переходом к пределу...

Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

§5. Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события . Теорема...

math.bobrodobro.ru